Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 2900 rpm memacu pinion 24 gigi, yang bertaut dengan gear 40 gigi. Abaikan kehilangan. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 24N₂ = 40η = 100%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 150 mm dan takal 200 mm yang pusatnya berjarak 500 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 150 mmd₂ = 200 mmC = 500 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 1.5 m. Tork 400 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1.5 m

τ_max = MPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 40 MPa dan σᵧ = −50 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 90 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 300 N·m bersama-sama dengan tork 2000 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmM = 300 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.2 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 50 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 200 kg pada spring berkekakuan 25 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.6. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 200 kgk = 25 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 10 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 40 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 16.46 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303.7 = 9.879 N·m

Tork keluaran

T₂ = 9.879·40/24·1 = 16.46 N·m

Jawapan

T₂ = 16.46 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 174.3 °

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut tali sawat

asin(0.05) = 2.866°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·2.866 = 174.3°

Jawapan

θ = 174.3°

3.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 31.83 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tegasan dalam setiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa

Jawapan

τ_max = 31.83 MPa

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 21.35 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·50)) = 21.35 mm

Jawapan

d = 21.35 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 83.67 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (40 + (−50))/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 90 − (−5) = 95 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 45²) = 83.67 MPa

Jawapan

τ_xy = 83.67 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 438.1 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·30³) = 113.2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377.3 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 56.59 MPa

R = √(56.59² + 377.3²) = 381.5 MPa

σ₁ = C + R = 438.1 MPa

σ₂ = C − R = −324.9 MPa

Jawapan

σ₁ = 438.1 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 35.57 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8.488 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0.2/5.623 × 10⁻⁶ = 35565 N = 35.57 kN

Jawapan

P = 35.57 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.199 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 61.12 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 61.12·1000/70000 = 0.8731 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265.3·500/100000 = 1.326 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.199 mm

Jawapan

δ = 2.199 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 10.74 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3500² = 10742 N = 10.74 kN

Jawapan

P_cr = 10.74 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 59.63 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 59.63 mm

Jawapan

d = 59.63 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 234.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 1.424 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(25000/200) = 11.18 rad/s

f_n = 11.18/(2π) = 1.779 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.779·√(1 − 0.6²) = 1.424 Hz

Jawapan

f_d = 1.424 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 11.8 Hz

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 40 = 55 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(55000/10) = 74.16 rad/s

f_n = 74.16/(2π) = 11.8 Hz

Jawapan

f_n = 11.8 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design