Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Sebuah cacing dengan 3 permulaan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 40 gigi. Cari laju nw roda itu.
z = 3Nw = 40n = 960 rpm
nw = rpm
2.Gear & rangkaian gearSukar
Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (20 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1440 rpm memacu gear B (36 gigi). Gear C (36 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (80 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran nout.
nin = 1440 rpmA = 20B = 36C = 36D = 80
nout = rpm
3.Kilasan aciSederhana
Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 10 mm dipiuh oleh tork 20 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 5.99° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.
T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5.99°
G = GPa
4.Kilasan aciSukar
Satu aci pejal mesti menghantar 50 kW pada 1800 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.
P = 50 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik mempunyai σₓ = 0 MPa dan σᵧ = −60 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τxy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 30 MPa?
σx = 0 MPaσy = −60 MPaσ1 = 30 MPa
τxy = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Aci pepejal berdiameter 25 mm membawa momen lentur 300 N·m bersama-sama dengan tork 400 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ1.
d = 25 mmM = 300 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.
P = 35 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.
P = 115 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.
L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanikalSederhana
Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 15 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 1.2 mm. Cari nisbah redaman ζ.
x0 = 15 mmx4 = 1.2 mmn = 4
ζ =
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 20 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 80 kN/m dan spring bawah k₂ = 25 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii fn bagi getaran menegak dalam Hz.
m = 20 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: nw = 72 rpm
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Laju roda
nw = n·z/Nw = 960·3/40 = 72 rpm
Jawapan
nw = 72 rpm
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: nout = 360 rpm
Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Peringkat pertama
nB = 1440·20/36 = 800 rpm = nC
Peringkat kedua
nout = 800·36/80 = 360 rpm
Jawapan
nout = 360 rpm
nisbah keseluruhan = 4 : 1
3.Kilasan aci
Jawapan: G = 38.97 GPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Momen kutub dan sudut
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 5.99·π/180 = 0.1045 rad
Modulus ricih
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981.7·0.1045) = 38972 MPa
G = 38.97 GPa
Jawapan
G = 38.97 GPa
Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.
4.Kilasan aci
Jawapan: d = 30.01 mm
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m
Diameter daripada tegasan dibenarkan
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30.01 mm
Jawapan
d = 30.01 mm
Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: τxy = 51.96 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Jejari yang diperlukan
C = (0 + (−60))/2 = −30 MPa
R = σ1 − C = 30 − (−30) = 60 MPa
Tegasan ricih
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 30²) = 51.96 MPa
Jawapan
τxy = 51.96 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σ1 = 260.8 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Tegasan pada permukaan
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·25³) = 195.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa
Bulatan Mohr
C = σ/2 = 97.78 MPa
R = √(97.78² + 130.4²) = 163 MPa
σ1 = C + R = 260.8 MPa
σ2 = C − R = −65.19 MPa
Jawapan
σ1 = 260.8 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 3.482 mm
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 35·1000/201.1 = 174.1 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 174.1/100000 = 0.001741 = 1741 µε
Pemanjangan
δ = ε·L = 0.001741·2000 mm = 3.482 mm
Jawapan
δ = 3.482 mm
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 9.775 mm
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 119.5 MPa
σ2 = 572 MPa
Tambah pemanjangan segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 119.5·2000/200000 = 1.195 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 572·1500/100000 = 8.579 mm
δ = δ1 + δ2 = 9.775 mm
Jawapan
δ = 9.775 mm
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 14.74 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 1·5000 = 5000 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/5000² = 14739 N = 14.74 kN
Jawapan
Pcr = 14.74 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: σcr = 4.318 MPa
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Jejari legaran dan kelangsingan
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400
Tegasan kritikal
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
Jawapan
σcr = 4.318 MPa
11.Getaran mekanikal
Jawapan: ζ = 0.09999
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Penyusutan logaritma
δ = (1/4)·ln(15/1.2) = 0.6314
Nisbah redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6314/√(39.48 + 0.3987) = 0.09999
Jawapan
ζ = 0.09999
12.Getaran mekanikal
Jawapan: fn = 4.912 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/80 + 1/25 → keq = 80·25/(80 + 25) = 19.05 kN/m
Frekuensi tabii
ωn = √(19048/20) = 30.86 rad/s
fn = 30.86/(2π) = 4.912 Hz
Jawapan
fn = 4.912 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design