Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
d1​ = 150 mmd2​ = 315 mm720 rpmn2​ = ?

Takal 150 mm pada 720 rpm memacu takal 315 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 2.5 %. Cari laju n2 takal yang dipacu.

n1 = 720 rpmd1 = 150 mmd2 = 315 mms = 2.5 %
n2 = rpm
2.Gear & rangkaian gearSukar
d1​ = 150 mmd2​ = 300 mm1450 rpmC = 600 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

Tali sawat terbuka menyambungkan takal pemacu 150 mm pada 1450 rpm kepada takal 300 mm; pusatnya berjarak 600 mm. Pekali geseran ialah 0.3 dan tegangan sisi kencang tidak boleh melebihi 1000 N. Cari kuasa terbesar P yang dapat dipindahkan oleh tali sawat tanpa tergelincir, dalam kW (abaikan kesan emparan).

d1 = 150 mmn1 = 1450 rpmd2 = 300 mmC = 600 mmμ = 0.3T1 = 1000 N
P = kW
3.Kilasan aciSederhana
T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
Tdo​ = 40 mm, di​ = 30 mm

Satu aci berongga menghantar 30 kW pada 1800 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci itu.

P = 30 kWN = 1800 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 160σy​ = 40τxy​ = −50MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa, dengan σz = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τabs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σx = 160 MPaσy = 40 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 80σy​ = −70τxy​ = −40MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τθ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σx = 80 MPaσy = −70 MPaτxy = −40 MPaθ = 20°
τθ = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
80 kNØ30100 GPaØ80/50800 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø30 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
20 kN12300 mm400 mmØ40Ø60σ2​ = ?

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 20 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ2 dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 3 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 95 kNL = 5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 95 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 95 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 12 kN/mζ = 0.4m = 100 kg

Jisim 100 kg pada spring berkekakuan 12 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.4. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 100 kgk = 12 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 60k2​ = 20k3​ = 100m = 100 kg

Jisim 100 kg tergantung pada spring k₃ = 100 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 20 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n2 = 334.3 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

720·150/315 = 342.9 rpm

Dengan gelinciran

n2 = 342.9·0.975 = 334.3 rpm

Jawapan

n2 = 334.3 rpm
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 6.604 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Sudut lilitan

θ = 2.891 rad

Tegangan sisi kendur

eμθ = e0.8673 = 2.38, T₂ = 1000/2.38 = 420.1 N

Kuasa

P = (1000 − 420.1)·11.39 = 6.604 kW

Jawapan

P = 6.604 kW
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 3.507 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·251327) = 0.06121 rad
φ = 0.06121·180/π = 3.507°

Jawapan

φ = 3.507°
4.Kilasan aci

Jawapan: τmax = 18.53 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 159155·20/171806 = 18.53 MPa

Jawapan

τmax = 18.53 MPa
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τabs = 89.05 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σmax − σmin)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama dalam satah

C = 100 MPa, R = √(60² + (−50)²) = 78.1 MPa
σ1 = 178.1 MPa, σ2 = 21.9 MPa, σz = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(156.2, 178.1, 21.9)/2 = 89.05 MPa

Jawapan

τabs = 89.05 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τθ = −78.85 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

τθ = −75·0.6428 + −40·0.766 = −78.85 MPa

Jawapan

τθ = −78.85 MPa
7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.143 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·800/4.477 × 10⁸ = 0.143 mm

Jawapan

δ = 0.143 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ2 = 3.559 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

Bahagian segmen 2

F2 = 20000·848230/1.686 × 10⁶ = 10062 N

Tegasan

σ2 = 10062/2827 = 3.559 MPa (mampatan)

Jawapan

σ2 = 3.559 MPa
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 8.583 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2100² = 8583 N = 8.583 kN

Jawapan

Pcr = 8.583 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 62.56 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 62.56 mm

Jawapan

d = 62.56 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 159.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 1.598 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(12000/100) = 10.95 rad/s
fn = 10.95/(2π) = 1.743 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.743·√(1 − 0.4²) = 1.598 Hz

Jawapan

fd = 1.598 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 3.355 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 60 + 20 = 80 kN/m
keq = 80·100/(80 + 100) = 44.44 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(44444/100) = 21.08 rad/s
fn = 21.08/(2π) = 3.355 Hz

Jawapan

fn = 3.355 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design