Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 11 kW yang berjalan pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi dan modul 5 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 11 kWn = 1450 rpmN₁ = 20m = 5 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Sebuah motor 5.5 kW pada 1440 rpm menggerakkan gear A (48 gigi), yang bersalingan dengan gear B (50 gigi). Gear C (30 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (45 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran T_out.

P = 5.5 kWn_in = 1440 rpmA = 48B = 50C = 30D = 45η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal 1.5 m panjang membawa tork 100 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 100 N·mL = 1.5 mG = 26 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 200 N·m bertindak pada B, 1.2 m dari A, dan tork 1500 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1.2 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 60° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 460 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 10 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 300 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø30 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 100 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 40 kg pada spring berkekakuan 20 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.6. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 20 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 25 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 40 kN/m dan spring bawah k₂ = 50 kN/m. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 1449 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 11000/151.8 = 72.44 N·m

Diameter pic

d = m·N = 5·20 = 100 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·72.44/0.1 = 1449 N

Jawapan

F_t = 1449 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T_out = 54.73 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

n_out = 1440·(48/50)·(30/45) = 921.6 rpm

ω_out = 2π·921.6/60 = 96.51 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

P_out = 5500·0.98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/96.51 = 54.73 N·m

Jawapan

T_out = 54.73 N·m

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 38.71 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(26000·0.02618) = 220368 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 38.71 mm

Jawapan

d = 38.71 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 3.572 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 200 = 1300 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1.3 × 10⁶·1200/(80000·613592) = 0.03178 rad

φ_BC = 1.5 × 10⁶·1000/(80000·613592) = 0.03056 rad

Kilasan hujung C

φ_C = 0.03178 + 0.03056 = 0.06234 rad → |φ_C| = 3.572°

Jawapan

φ_C = 3.572°

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −83.48 MPa

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −55 − (−5)·(−0.5) − 30·0.866 = −83.48 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = −26.52 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −110 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −83.48 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 5.042

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 50 MPa, R = 41.23 MPa

σ₁ = 91.23 MPa, σ₂ = 8.769 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 91.23 MPa

n = 460/91.23 = 5.042

Jawapan

n = 5.042

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.03017 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·9346 = 7.956 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·300/7.956 × 10⁸ = 0.03017 mm

Jawapan

δ = 0.03017 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 5.46 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 103.9 MPa

σ₂ = 884.2 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 103.9·2000/200000 = 1.039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 884.2·500/100000 = 4.421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.46 mm

Jawapan

δ = 5.46 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 200.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200.9 kN

Jawapan

P_cr = 200.9 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.371 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/6.25 = 672

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/672² = 4.371 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.371 MPa

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 2.847 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(20000/40) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.6²) = 2.847 Hz

Jawapan

f_d = 2.847 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 22.22 kN/m

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/50 → k_eq = 40·50/(40 + 50) = 22.22 kN/m

Jawapan

k_eq = 22.22 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design