Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 1.5 kW yang berjalan pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 30 gigi dan modul 2.5 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 1.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2.5 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (40 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1440 rpm memacu gear B (45 gigi). Gear C (25 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (45 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1440 rpmA = 40B = 45C = 25D = 45

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 0.5 m panjang membawa tork 200 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 200 N·mL = 0.5 mG = 80 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 160 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° ikut arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 80 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 125 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 10 mm diikuti 3 kitaran kemudian oleh puncak 2.2 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₃ = 2.2 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 60 kN/m. Jisim kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 265.3 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 1500/150.8 = 9.947 N·m

Diameter pic

d = m·N = 2.5·30 = 75 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·9.947/0.075 = 265.3 N

Jawapan

F_t = 265.3 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 711.1 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1440·40/45 = 1280 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1280·25/45 = 711.1 rpm

Jawapan

n_out = 711.1 rpm

nisbah keseluruhan = 2.025 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 26.41 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·500/(80000·0.02618) = 47746 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 26.41 mm

Jawapan

d = 26.41 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 26.89 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26.89 mm

Jawapan

d = 26.89 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −10.28 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 40/42.72 = 0.9363, sin 2θ_s = −15/42.72 = −0.3511

2θ_s = atan2(−15, 40) = −20.56°

Sudut pada unsur

θ_s = −10.28°

semakan: θ_s − θ_p = −10.28 − 34.72 = −45°

Jawapan

θ_s = −10.28°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 35.84 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −20·−0.6428 + 30·0.766 = 35.84 MPa

Jawapan

τ_θ = 35.84 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 52.36 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2.546 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/7.639 × 10⁻⁶ = 52360 N = 52.36 kN

Jawapan

P = 52.36 kN

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 254.6 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 63.66 MPa

σ₂ = 254.6 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 254.6 MPa

Jawapan

σ_max = 254.6 MPa

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.139 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN

Jawapan

P_cr = 3.139 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 99.88 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 99.88 mm

Jawapan

d = 99.88 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 120.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.08007

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/3)·ln(10/2.2) = 0.5047

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5047/√(39.48 + 0.2547) = 0.08007

Jawapan

ζ = 0.08007

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 5.279 Hz

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 60 = 110 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(110000/100) = 33.17 rad/s

f_n = 33.17/(2π) = 5.279 Hz

Jawapan

f_n = 5.279 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design