Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 0.75 kW yang berputar pada 1500 rpm memacu pinion 15 gigi, yang bertaut dengan gear 45 gigi. Pasangan gear itu mempunyai kecekapan 98%. Cari tork keluaran T₂ pada aci gear.

P = 0.75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 15N₂ = 45η = 98%

T₂ = N·m

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam alur gear majmuk, gear A (18 gigi) pada aci masukan berputar pada 3000 rpm dan menggerakkan gear B (45 gigi). Gear C (25 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan menggerakkan gear D pada aci keluaran. Keluaran mesti berputar pada 375 rpm. Berapakah bilangan gigi N_D yang mesti dimiliki oleh gear D?

n_in = 3000 rpmA = 18B = 45C = 25n_out = 375 rpm

N_D =

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 75 kW pada 1500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 1° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 130 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 500 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 60 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 145 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 5 kg pada spring berkekakuan 50 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam f_d bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 5 kgk = 50 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada spring k₃ = 25 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 100 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: T₂ = 14.04 N·m

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tork motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m

Tork keluaran

T₂ = 4.775·45/15·0.98 = 14.04 N·m

Jawapan

T₂ = 14.04 N·m

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju aci perantaraan

n_B = n_C = 3000·18/45 = 1200 rpm

Gigi pada gear D

N_D = C·n_C/n_out = 25·1200/375 = 80

Jawapan

N_D = 80

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 22.17 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·79522) = 0.3869 rad

φ = 0.3869·180/π = 22.17°

Jawapan

φ = 22.17°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 57.22 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 477.5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·80)) = 31.21 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 57.22 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(31.21, 57.22) = 57.22 mm

Jawapan

d = 57.22 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 71.21 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 100 MPa, R = √(30² + 30²) = 42.43 MPa

σ₁ = 142.4 MPa, σ₂ = 57.57 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(84.85, 142.4, 57.57)/2 = 71.21 MPa

Jawapan

τ_abs = 71.21 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −74.76 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −65·0.9397 + −40·0.342 = −74.76 MPa

Jawapan

τ_θ = −74.76 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.05069 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4.932 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·500/4.932 × 10⁸ = 0.05069 mm

Jawapan

δ = 0.05069 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 5.659 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 122.2 MPa

σ₂ = 298.4 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122.2·1500/100000 = 1.833 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298.4·1500/117000 = 3.826 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.659 mm

Jawapan

δ = 5.659 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 66.84 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2100² = 66842 N = 66.84 kN

Jawapan

P_cr = 66.84 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 72.04 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 72.04 mm

Jawapan

d = 72.04 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 166.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: f_d = 13.78 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ω_n = √(50000/5) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15.92 Hz

Frekuensi tabii teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.5²) = 13.78 Hz

Jawapan

f_d = 13.78 Hz

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.592 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 10 + 100 = 110 kN/m

k_eq = 110·25/(110 + 25) = 20.37 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(20370/40) = 22.57 rad/s

f_n = 22.57/(2π) = 3.592 Hz

Jawapan

f_n = 3.592 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design