Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Sebuah motor 7.5 kW yang berjalan pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 18 gigi dan modul 2 mm. Cari daya tangen F_t pada gigi pinion.

P = 7.5 kWn = 960 rpmN₁ = 18m = 2 mm

F_t = N

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (25 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1500 rpm memacu gear B (60 gigi). Gear C (15 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (60 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 25B = 60C = 15D = 60

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 20 mm terikat pada A. Tork 500 N·m bertindak pada B, 0.8 m dari A, dan tork 100 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 3 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 20 mmT_B = 500 N·mT_C = 100 N·mAB = 0.8 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 355 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 35 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Dalam ujian getaran bebas sistem jisim–spring teredam, puncak sesaran 50 mm diikuti 4 kitaran kemudian oleh puncak 23.5 mm. Cari nisbah redaman ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 23.5 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 100 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 100 kN/m dan spring bawah k₂ = 25 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: F_t = 4145 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tork pada pinion

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 7500/100.5 = 74.6 N·m

Diameter pic

d = m·N = 2·18 = 36 mm

Daya tangen

F_t = 2T/d = 2·74.6/0.036 = 4145 N

Jawapan

F_t = 4145 N

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 156.3 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1500·25/60 = 625 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 625·15/60 = 156.3 rpm

Jawapan

n_out = 156.3 rpm

nisbah keseluruhan = 9.6 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.3502 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·613592) = 0.006112 rad

φ = 0.006112·180/π = 0.3502°

Jawapan

φ = 0.3502°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 254.6 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 500 = −400 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa

Jawapan

τ_max = 254.6 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 52.2 MPa

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((30 − 60)/2)² + 50²) = 52.2 MPa

Jawapan

τ_max = 52.2 MPa

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 3.55

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 40 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 90 MPa, σ₂ = −10 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 100 MPa

n = 355/100 = 3.55

Jawapan

n = 3.55

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1119 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1.072 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 300000·400/1.072 × 10⁹ = 0.1119 mm

Jawapan

δ = 0.1119 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.6786 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 61.12 MPa

σ₂ = 149.2 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 61.12·1000/200000 = 0.3056 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 149.2·500/200000 = 0.373 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.6786 mm

Jawapan

δ = 0.6786 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 992.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992.2 kN

Jawapan

P_cr = 992.2 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 66.12 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 66.12 mm

Jawapan

d = 66.12 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 254.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.03003

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Penyusutan logaritma

δ = (1/4)·ln(50/23.5) = 0.1888

Nisbah redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1888/√(39.48 + 0.03563) = 0.03003

Jawapan

ζ = 0.03003

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 2.251 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/25 → k_eq = 100·25/(100 + 25) = 20 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(20000/100) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

Jawapan

f_n = 2.251 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design