Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Kuasa
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan
nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Daripada pesongan statik
ωn = √(g/δst)
Redaman genting
cc = 2√(km) = 2mωn
Nisbah redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari
k = k1 + k2
Spring secara bersiri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana
Tw​ = ?z = 2, 2900 rpm

Sebuah motor 1.1 kW pada 2900 rpm menggerakkan cacing dengan 2 permulaan. Roda cacing mempunyai 36 gigi dan pemacu itu berkecekapan 60%. Cari tork keluaran Tw pada aci roda.

z = 2Nw = 36n = 2900 rpmP = 1.1 kWη = 60%
Tw = N·m
2.Gear & rangkaian gearSukar
A = 18B = 36C = 18D = 36

Sebuah motor 7.5 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (18 gigi), yang bersalingan dengan gear B (36 gigi). Gear C (18 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (36 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 97%. Cari tork keluaran Tout.

P = 7.5 kWnin = 960 rpmA = 18B = 36C = 18D = 36ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
d = 60 mmT0​ = 100 N·mACBa = 0.5 mb = 1.2 m

Aci loyang pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 100 N·m dikenakan pada C, 0.5 m dari A dan 1.2 m dari B. Cari tork tindak balas TA pada dinding A.

d = 60 mmT0 = 100 N·ma = 0.5 mb = 1.2 m
TA = N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 150σy​ = −30τxy​ = −50MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = 150 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −50σy​ = 30τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 275 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σx = −50 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaσY = 275 MPa
n =
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
150 kNØ20100 GPaØ120/50400 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Tegasan & terikan paksiSukar
P = ?Ø20100 GPaØ80/60600 mm

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar Pmax.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 m50 × 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 145 kNL = 4 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 145 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
k = 40 kN/mζ = 0.7m = 5 kg

Jisim 5 kg pada spring berkekakuan 40 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.7. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.

m = 5 kgk = 40 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
k1​ = 50k2​ = 5k3​ = 20m = 25 kg

Jisim 25 kg tergantung pada spring k₃ = 20 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 5 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.

m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tw = 39.12 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju roda

nw = n·z/Nw = 2900·2/36 = 161.1 rpm

Tork keluaran

ωw = 2π·161.1/60 = 16.87 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.6·1100/16.87 = 39.12 N·m

Jawapan

Tw = 39.12 N·m
2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: Tout = 280.8 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Laju keluaran

nout = 960·(18/36)·(18/36) = 240 rpm
ωout = 2π·240/60 = 25.13 rad/s

Kuasa dan tork keluaran

Pout = 7500·0.97² = 7057 W
Tout = Pout/ωout = 7057/25.13 = 280.8 N·m

Jawapan

Tout = 280.8 N·m
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 4.274 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·251327) = 0.0746 rad
φ = 0.0746·180/π = 4.274°

Jawapan

φ = 4.274°
4.Kilasan aci

Jawapan: TA = 70.59 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1.2/1.7 = 70.59 N·m
TB = 100·0.5/1.7 = 29.41 N·m

Jawapan

TA = 70.59 N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 103 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((150 − −30)/2)² + −50²) = 103 MPa

Jawapan

τmax = 103 MPa
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 3.154

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = −10 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 40 MPa, σ2 = −60 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(40² − 40·(−60) + (−60)²) = 87.18 MPa
n = 275/87.18 = 3.154

Jawapan

n = 3.154

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.06015 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·9346 = 9.975 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·400/9.975 × 10⁸ = 0.06015 mm

Jawapan

δ = 0.06015 mm
8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: Pmax = 169.6 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·2199 = 2.827 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0006) = 0.0006 (loyang)

Beban terbesar

Pmax = 0.0006·2.827 × 10⁸ = 169646 N = 169.6 kN

Jawapan

Pmax = 169.6 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 55.08 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2800² = 55076 N = 55.08 kN

Jawapan

Pcr = 55.08 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 100.1 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 100.1 mm

Jawapan

d = 100.1 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 111.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: fd = 10.17 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi tabii tanpa redaman

ωn = √(40000/5) = 89.44 rad/s
fn = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

Frekuensi tabii teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.7²) = 10.17 Hz

Jawapan

fd = 10.17 Hz
12.Getaran mekanikal

Jawapan: fn = 3.855 Hz

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan setara

Hanya k1 dan k2 yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k3, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k12 = 50 + 5 = 55 kN/m
keq = 55·20/(55 + 20) = 14.67 kN/m

Frekuensi tabii

ωn = √(14667/25) = 24.22 rad/s
fn = 24.22/(2π) = 3.855 Hz

Jawapan

fn = 3.855 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design