Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Dalam taburan normal yang sempurna:
- AMin sentiasa lebih besar daripada median
- BMin, median dan mod adalah sama
- CKebanyakan skor terletak di hujung
- DMod ialah skor terendah
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik menggunakan soal selidik, temu bual dan pemerhatian untuk mengkaji tekanan di tempat kerja, dan dapatannya selaras. Apakah pendekatan ini dipanggil?
- AReplikasi
- BTriangulasi
- CPengimbangan balas
- DPelapisan
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 28, 20, 40, 50, 43, 33.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 66?
μ = 70σ = 8x = 66
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.35, 0.05, 0.25
σ =
6.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €3 dengan kebarangkalian 0.3 dan €10 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €1€3: p = 0.3€10: p = 0.02
E(G) = €
7.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.8438. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.8438
z =
8.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 25 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 6.4. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 99% berdasarkan 50 cerapan?
90%n₁ = 25E₁ = 6.499%n₂ = 50
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 36. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?
σ = 36E = 190%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 204.8 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 204.8s = 10n = 36
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1? Sisihan piawai ialah 20. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 20E = 190%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 52?
n = 5ŷ = 52
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 2002 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua menyemak sama ada kiraan dalam 5 kategori mengikut taburan Poisson yang puratanya dianggarkan daripada data yang sama. Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?
k = 5
df =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Min, median dan mod adalah sama
Mengapa ini jawapannya
Taburan normal adalah simetri dan berbentuk loceng, maka ketiga-tiga ukuran kecenderungan memusat jatuh di tengah.
Jawapan
B · Min, median dan mod adalah sama
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Triangulasi
Mengapa ini jawapannya
Triangulasi menggunakan pelbagai kaedah, sumber atau penyelidik. Persetujuan antaranya meningkatkan keyakinan terhadap kesahan dapatan.
Jawapan
B · Triangulasi
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 10.86
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 214/6 = 35.67
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−7.667)² + (−15.67)² + 4.333² + 14.33² + 7.333² + (−2.667)² = 589.3
Sisihan piawai
s = √(589.3/5) = 10.86
Jawapan
s = 10.86
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.6915
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.5
Jadual normal piawai
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
Jawapan
P = 0.6915
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.166
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.25 = 1.2
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.25 = 2.8
Varians
Var(X) = 2.8 − 1.2² = 1.36
σ = √1.36 = 1.166
Jawapan
σ = 1.166
6.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 0.1 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 2 (p = 0.3), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.68)
Nilai jangkaan
E(G) = 2·0.3 + 9·0.02 − 1·0.68 = 0.1 €
Jawapan
E(G) = 0.1 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
7.Taburan normal
Jawapan: z = −1.01
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.8438 = 0.1562
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.1562 di dalam jadual dan baca z.
z = −1.01
Jawapan
z = −1.01
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9515
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515
Jawapan
P = 0.9515
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 7.087
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/50) = 1.107
Margin baharu
E₂ = 6.4·1.107 = 7.087
Jawapan
E₂ = 7.087
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 3508
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·36/1)² = 3507
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 3508
Jawapan
n = 3508
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.88
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
Statistik ujian
t = (204.8 − 200)/1.667 = 2.88
Jawapan
t = 2.88
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 1083
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.645·20/1)² = 1082
Bundarkan ke atas
n = 1083
Jawapan
n = 1083
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9935
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 445/5 = 89
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1634
Pekali korelasi
r = 381/√(90·1634) = 0.9935
Jawapan
r = 0.9935
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 4.469
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 224/5 = 44.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49
Garis regresi
b = 49/10 = 4.9
a = 44.8 − 4.9·3 = 30.1
ŷ = 30.1 + 4.9·x
Selesaikan untuk x
x = (52 − 30.1)/4.9 = 4.469
Jawapan
x = 4.469
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 12.25
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
bandar: 80·40/200 = 16, 80·60/200 = 24, 80·100/200 = 40
luar bandar: 120·40/200 = 24, 120·60/200 = 36, 120·100/200 = 60
Statistik khi kuasa dua
χ² = (10 − 16)²/16 + (18 − 24)²/24 + (52 − 40)²/40 + (30 − 24)²/24 + (42 − 36)²/36 + (48 − 60)²/60
χ² = 12.25
Jawapan
χ² = 12.25
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: df = 3
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 5 − 1 − 1 = 3
Jawapan
df = 3
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology