Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Statistik manakah yang sesuai untuk hubungan antara dua set pangkat, seperti ranking lukisan oleh juri?
- ARho Spearman
- Br Pearson
- CKhi kuasa dua
- DUjian-t bebas
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik membandingkan tiga atau lebih min kumpulan. Mengapakah ANOVA sehala digunakan dan bukannya beberapa ujian-t?
- ABerbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
- BUjian-t tidak boleh mengendalikan nombor melebihi 100
- CUjian-t memerlukan data kualitatif
- DANOVA sentiasa menemui kesan yang lebih besar daripada set ujian-t yang setara
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 45, 44, 59, 10, 38.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 72.
μ = 60σ = 12x = 72
z =
5.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 4 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 4
P =
6.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 12 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?
n = 12p = 0.7k = 2
P =
7.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.4177. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.4177
z =
8.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).
μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = markah
9.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 20 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −7.2 dan sisihan piawai 6. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min beza.
n = 20d̄ = −7.2sd = 695%t(19) = 2.093
E = mmHg
10.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 5 petak, min hasil 31.5 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Kumpulan petak 2: 12 petak, min 39 kg, sisihan piawai 9 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 31.5s₁ = 9.5n₂ = 12x̄₂ = 39s₂ = 999%t(15) = 2.947
E = kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
8 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 10.34 dan sisihan piawai beza ialah 11.7. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = 10.34sd = 11.7
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 3. Pada hakikatnya min ialah 81.1. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.
μ₀ = 80μ = 81.1σ = 3n = 36α = 0.05
β = %
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 10?
n = 5ŷ = 10
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 4 baris dan 4 lajur (tidak termasuk jumlah). Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?
4 × 4
df =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Rho Spearman
Mengapa ini jawapannya
Korelasi pangkat Spearman mengukur kekuatan hubungan monotonik antara dua pemboleh ubah berpangkat atau ordinal.
Jawapan
A · Rho Spearman
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Berbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
Mengapa ini jawapannya
Menjalankan banyak ujian berpasangan menggandakan peluang positif palsu. ANOVA menguji semua kumpulan bersama dan diikuti dengan ujian pasca-hoc yang dibetulkan.
Jawapan
A · Berbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 18.05
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 196/5 = 39.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 5.8² + 4.8² + 19.8² + (−29.2)² + (−1.2)² = 1303
Sisihan piawai
s = √(1303/4) = 18.05
Jawapan
s = 18.05
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = 1
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (72 − 60)/12 = 1
Jawapan
z = 1
5.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.5177
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
Jawapan
P = 0.5177
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.000191
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 2) = 66·0.72·0.310 = 66·0.49·5.905 × 10⁻⁶ = 0.000191
Jawapan
P = 0.000191
7.Taburan normal
Jawapan: z = 0.55
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.4177)/2 = 0.7088
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.7088 di dalam jadual dan baca z.
z = 0.55
Jawapan
z = 0.55
8.Taburan normal
Jawapan: x = 84.6 markah
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
Kembali kepada x
x = 65 + 1.96·10 = 84.6 markah
Jawapan
x = 84.6 markah
9.Selang keyakinan
Jawapan: E = 2.808 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 19, t = 2.093
Margin ralat
E = 2.093·6/√20 = 2.808
Jawapan
E = 2.808 mmHg
10.Selang keyakinan
Jawapan: E = 14.33 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (4·9.5² + 11·9²)/15 = 83.47
sp = 9.136
Margin ralat
E = 2.947·9.136·√(1/5 + 1/12) = 14.33
Jawapan
E = 14.33 kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.5
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 11.7/√8 = 4.137
Statistik ujian
t = 10.34/4.137 = 2.5
Jawapan
t = 2.5
Dengan df = 7, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.365; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: β = 28.94 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 3/√36 = 0.5
x̄c = 80 + 1.645·0.5 = 80.82
z di bawah min sebenar
z = (80.82 − 81.1)/0.5 = −0.555
Ralat Jenis II
kuasa = P(Z > −0.555) = 71.06%
β = 100% − 71.06% = 28.94%
Jawapan
β = 28.94%
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9553
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 90/5 = 18
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 114
Pekali penentuan
r² = −33²/(10·114) = 0.9553
Jawapan
r² = 0.9553
Kira-kira 95.53% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 4.917
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 63/5 = 12.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Garis regresi
b = 96/40 = 2.4
a = 12.6 − 2.4·6 = −1.8
ŷ = −1.8 + 2.4·x
Selesaikan untuk x
x = (10 − (−1.8))/2.4 = 4.917
Jawapan
x = 4.917
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 9.375
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
syif siang: 80·30/120 = 20, 80·42/120 = 28, 80·48/120 = 32
syif malam: 40·30/120 = 10, 40·42/120 = 14, 40·48/120 = 16
Statistik khi kuasa dua
χ² = (25 − 20)²/20 + (21 − 28)²/28 + (34 − 32)²/32 + (5 − 10)²/10 + (21 − 14)²/14 + (14 − 16)²/16
χ² = 9.375
Jawapan
χ² = 9.375
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: df = 9
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
Jawapan
df = 9
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology