Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Jenis data manakah yang dikumpul dengan soalan terbuka dalam temu bual?
- AData selang
- BData nisbah
- CData kuantitatif nominal sahaja
- DData kualitatif
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Dalam analisis tematik, penganalisis terutamanya:
- AMengira skor min bagi setiap tema untuk membandingkannya secara statistik
- BMengenal pasti corak makna yang berulang merentas data kualitatif
- CMengira kekerapan perkataan sahaja
- DMenguji hipotesis berangka
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 40, 50, 10, 26, 28, 32, 48.
n = 7
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 78.
μ = 70σ = 8x = 78
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.05, 0.35, 0.15
σ =
6.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 20. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35Y = 10X + 20
σY =
7.Taburan normalSederhana
masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 29.3 dan 35 min? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 32σ = 6x1 = 29.3x2 = 35
P =
8.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 100 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 7.5. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% berdasarkan 900 cerapan?
99%n₁ = 100E₁ = 7.590%n₂ = 900
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 29. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?
σ = 29E = 290%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 103.9 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103.9s = 15n = 64
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 102.8. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 102.8σ = 20n = 10090%
L =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 15Σy = 98Σx² = 55Σy² = 1974Σxy = 272
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (2.5, 16) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(2.5, 16)
e =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Data kualitatif
Mengapa ini jawapannya
Soalan terbuka menghasilkan data kualitatif yang kaya yang lebih sukar dianalisis secara statistik berbanding jawapan soalan tertutup.
Jawapan
D · Data kualitatif
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Mengenal pasti corak makna yang berulang merentas data kualitatif
Mengapa ini jawapannya
Analisis tematik melibatkan penerokaan data, pengekodan, penjanaan, semakan dan penamaan tema serta penulisan, dengan tumpuan pada makna dan bukan statistik.
Jawapan
B · Mengenal pasti corak makna yang berulang merentas data kualitatif
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 13.94
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 234/7 = 33.43
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 6.571² + 16.57² + (−23.43)² + (−7.429)² + (−5.429)² + (−1.429)² + 14.57² = 1166
Sisihan piawai
s = √(1166/6) = 13.94
Jawapan
s = 13.94
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = 1
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (78 − 70)/8 = 1
Jawapan
z = 1
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.513
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.3 + 1·0.15 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.15 = 1.9
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.15 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.15 = 5.9
Varians
Var(X) = 5.9 − 1.9² = 2.29
σ = √2.29 = 1.513
Jawapan
σ = 1.513
6.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 12.04
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.5, Var(X) = 1.45, σX = 1.204
Perubahan linear
σY = |10|·1.204 = 12.04
Jawapan
σY = 12.04
Min memang berubah: E(Y) = 10·1.5 + 20 = 35.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.3651
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (29.3 − 32)/6 = −0.45
z₂ = (35 − 32)/6 = 0.5
Luas antara
P = Φ(0.5) − Φ(−0.45) = 0.6915 − 0.3264 = 0.3651
Jawapan
P = 0.3651
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9207
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01414 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.02)/0.01414 = −1.41
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207
Jawapan
P = 0.9207
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 1.596
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(100/900) = 0.2129
Margin baharu
E₂ = 7.5·0.2129 = 1.596
Jawapan
E₂ = 1.596
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 569
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·29/2)² = 568.9
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 569
Jawapan
n = 569
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.08
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875
Statistik ujian
t = (103.9 − 100)/1.875 = 2.08
Jawapan
t = 2.08
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 99.51
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·20/√100 = 3.29
Had selang
L = 102.8 − 3.29 = 99.51
Jawapan
L = 99.51
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9538
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 272 − 15·98/5 = −22
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1974 − 98²/5 = 53.2
Pekali korelasi
r = −22/√(10·53.2) = −0.9538
Jawapan
r = −0.9538
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −5.338
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 121/6 = 20.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20.5
Garis regresi
b = −20.5/17.5 = −1.171
a = 20.17 − (−1.171)·3.5 = 24.27
ŷ = 24.27 − 1.171·x
Nilai ramalan
ŷ = 24.27 + (−1.171)·2.5 = 21.34
Reja
e = 16 − 21.34 = −5.338
Jawapan
e = −5.338
Titik itu terletak di bawah garis.
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 2.528
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
pelajar: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18
kakitangan: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45
Statistik khi kuasa dua
χ² = (8 − 6)²/6 + (18 − 16)²/16 + (14 − 18)²/18 + (13 − 15)²/15 + (38 − 40)²/40 + (49 − 45)²/45
χ² = 2.528
Jawapan
χ² = 2.528
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 36.35
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
umur 18–30: 30, 10
umur 31–50: 30, 10
umur 51+: 75, 25
Statistik khi kuasa dua
χ² = (19 − 30)²/30 + (21 − 10)²/10 + (24 − 30)²/30 + (16 − 10)²/10 + (92 − 75)²/75 + (8 − 25)²/25
χ² = 36.35
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
36.35 > 5.991
Jawapan
χ² = 36.35
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology