Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Kajian keratan rentas membandingkan orang berumur 20, 40 dan 60 tahun tentang penggunaan teknologi pada masa yang sama. Masalah manakah yang boleh mengelirukan perbandingan umur?
- AKesan kohort
- BKesan urutan
- CKesan latihan
- DKesan lantai
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Kajian ingatan menggunakan reka bentuk ukuran berulang di mana semua orang mempelajari senarai A kemudian senarai B. Ingatan semula lebih baik untuk senarai B. Apakah kelemahan yang paling mungkin?
- ASaiz sampel terlalu besar
- BKesan urutan seperti latihan, kerana keadaan tidak diimbangi balas
- CPenggunaan aras pengukuran ordinal
- DPerbezaan individu antara kumpulan
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 59, 42, 33, 55, 10, 48.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 80?
μ = 70σ = 8x = 80
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.3, 0.2
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X − 3. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 10X − 3
σY =
7.Taburan normalSederhana
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 470 dan 522 h? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 500σ = 40x1 = 470x2 = 522
P =
8.Taburan normalSukar
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 5% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 100 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 7.8. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 95% berdasarkan 25 cerapan?
90%n₁ = 100E₁ = 7.895%n₂ = 25
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.2 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.05?
p ≈ 0.2E = 0.0599%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 192.6 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 192.6s = 20n = 49
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5? Sisihan piawai ialah 4. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 4E = 0.595%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 22?
n = 5ŷ = 22
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1402 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Kesan kohort
Mengapa ini jawapannya
Kumpulan umur berbeza dibesarkan dalam keadaan sejarah yang berbeza, maka perbezaan mungkin mencerminkan generasi (kohort) dan bukan penuaan itu sendiri.
Jawapan
A · Kesan kohort
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Kesan urutan seperti latihan, kerana keadaan tidak diimbangi balas
Mengapa ini jawapannya
Apabila semua peserta mengalami keadaan dalam urutan yang sama, peningkatan mungkin mencerminkan latihan dan bukan senarai itu. Pengimbangan balas (ABBA atau separuh AB, separuh BA) mengawal ini.
Jawapan
B · Kesan urutan seperti latihan, kerana keadaan tidak diimbangi balas
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.86
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 247/6 = 41.17
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 17.83² + 0.8333² + (−8.167)² + 13.83² + (−31.17)² + 6.833² = 1595
Sisihan piawai
s = √(1595/5) = 17.86
Jawapan
s = 17.86
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.8944
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.25
Jadual normal piawai
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
Jawapan
P = 0.8944
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 4.2
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.2 + 2·0.3 + 4·0.3 + 6·0.2 = 3
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.2 + 4·0.3 + 16·0.3 + 36·0.2 = 13.2
Varians
Var(X) = 13.2 − 3² = 4.2
Jawapan
Var(X) = 4.2
6.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 8.047
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
Perubahan linear
σY = |10|·0.8047 = 8.047
Jawapan
σY = 8.047
Min memang berubah: E(Y) = 10·1.05 − 3 = 7.5.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.4822
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (470 − 500)/40 = −0.75
z₂ = (522 − 500)/40 = 0.55
Luas antara
P = Φ(0.55) − Φ(−0.75) = 0.7088 − 0.2266 = 0.4822
Jawapan
P = 0.4822
8.Taburan normal
Jawapan: x = 434 h
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.05
z daripada jadual
z ≈ −1.64
Kembali kepada unit asal
x = 500 − 1.64·40 = 434 h
Jawapan
x = 434 h
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 18.59
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/25) = 2.383
Margin baharu
E₂ = 7.8·2.383 = 18.59
Jawapan
E₂ = 18.59
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 425
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 2.576²·0.2·0.8/0.05² = 424.7
Bundarkan ke atas
n = 425
Jawapan
n = 425
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −2.59
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857
Statistik ujian
t = (192.6 − 200)/2.857 = −2.59
Jawapan
t = −2.59
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 246
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.96·4/0.5)² = 245.9
Bundarkan ke atas
n = 246
Jawapan
n = 246
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.8414
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 101/6 = 16.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 80.83
Pekali penentuan
r² = −34.5²/(17.5·80.83) = 0.8414
Jawapan
r² = 0.8414
Kira-kira 84.14% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 1.563
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Garis regresi
b = −32/10 = −3.2
a = 17.4 − (−3.2)·3 = 27
ŷ = 27 − 3.2·x
Selesaikan untuk x
x = (22 − 27)/(−3.2) = 1.563
Jawapan
x = 1.563
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 0.1538
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
perokok: 40·91/140 = 26, 40·49/140 = 14
bukan perokok: 100·91/140 = 65, 100·49/140 = 35
Statistik khi kuasa dua
χ² = (27 − 26)²/26 + (13 − 14)²/14 + (64 − 65)²/65 + (36 − 35)²/35
χ² = 0.1538
Jawapan
χ² = 0.1538
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 32
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
talian 1: 30, 10
talian 2: 45, 15
talian 3: 60, 20
Statistik khi kuasa dua
χ² = (34 − 30)²/30 + (6 − 10)²/10 + (57 − 45)²/45 + (3 − 15)²/15 + (44 − 60)²/60 + (36 − 20)²/20
χ² = 32
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
32 > 5.991
Jawapan
χ² = 32
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology