Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana

Ujian manakah yang sesuai untuk membandingkan min dua kumpulan bebas dengan data selang yang kira-kira normal?

AUjian-t sampel bebas
BUjian khi kuasa dua
CKorelasi Pearson
DUjian pangkat bertanda Wilcoxon

2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar

Meningkatkan saiz sampel dalam kajian paling langsung:

AMenghapuskan semua bias daripada sampel
BMeningkatkan saiz kesan
CMenjamin keputusan yang signifikan secara statistik jika sebarang kesan wujud
DMeningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar

3.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 55, 23, 38, 22, 36, 48, 28.

n = 7

s =

4.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 130.

μ = 100σ = 15x = 130

z =

5.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.3, 0.05, 0.35, 0.25

Var(X) =

6.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.2, 0.1Y = 3X + 20

σ_Y =

7.Taburan normalSederhana

Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 6 daripadanya melebihi 238.5 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6> 238.5 g

P =

8.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

9.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 10 item mempunyai min 86 dan sisihan piawai s = 5.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min.

n = 10x̄ = 86s = 5.590%t(9) = 1.833

E =

10.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.02?

p = 0.5E = 0.0299%

n =

11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 100 bahagian mempunyai min panjang 54 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 13 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 55.7 mm, sisihan piawai diketahui 16 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 100x̄₁ = 54 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 40x̄₂ = 55.7 mmσ₂ = 16 mm

z =

12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 25 ukuran mempunyai min 494.8. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 494.8σ = 20n = 2590%

U =

13.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 27Σy = 337Σx² = 139Σy² = 19317Σxy = 1591

r =

14.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.5.

n = 6x = 2.5

ŷ =

15.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Ujian khi kuasa duaSukar

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 2403 × 2α = 0.01

χ² =

3Larutan

1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi

Jawapan: A · Ujian-t sampel bebas

Mengapa ini jawapannya

Ujian-t bebas membandingkan dua min kumpulan. Khi kuasa dua untuk kekerapan; Wilcoxon untuk sampel berkaitan dengan data bukan parametrik.

Jawapan

A · Ujian-t sampel bebas

2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi

Jawapan: D · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar

Mengapa ini jawapannya

Sampel lebih besar mengurangkan ralat piawai, meningkatkan kuasa. Ia tidak mengubah saiz kesan sebenar atau menghapuskan bias sistematik.

Jawapan

D · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar

3.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.5

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 250/7 = 35.71

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 19.29² + (−12.71)² + 2.286² + (−13.71)² + 0.2857² + 12.29² + (−7.714)² = 937.4

Sisihan piawai

s = √(937.4/6) = 12.5

Jawapan

s = 12.5

4.Statistik perihalan

Jawapan: z = 2

Piawaikan

z = (130 − 100)/15 = 2

Jawapan

z = 2

5.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.647

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.05 + 2·0.3 + 3·0.05 + 4·0.35 + 5·0.25 = 3.45

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.3 + 9·0.05 + 16·0.35 + 25·0.25 = 13.55

Varians

Var(X) = 13.55 − 3.45² = 1.647

Jawapan

Var(X) = 1.647

6.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 3.214

Serakan X

μ = 1.95, Var(X) = 1.147, σ_X = 1.071

Perubahan linear

σ_Y = |3|·1.071 = 3.214

Jawapan

σ_Y = 3.214

Min memang berubah: E(Y) = 3·1.95 + 20 = 25.85.

7.Taburan normal

Jawapan: P = 0.695

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 240 g, σ_T = 1.2·√6 = 2.939 g

Piawaikan

z = (238.5 − 240)/2.939 = −0.51

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.51) = 0.695

Jawapan

P = 0.695

8.Taburan normal

Jawapan: x = 182.7 cm

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

Kembali kepada x

x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm

Jawapan

x = 182.72 cm

9.Selang keyakinan

Jawapan: E = 3.188

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 9, t = 1.833

Margin ralat

E = 1.833·5.5/√10 = 3.188

Jawapan

E = 3.188

10.Selang keyakinan

Jawapan: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.02² = 4147

Bundarkan ke atas

n = 4148

Jawapan

n = 4148

11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −0.5977

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(13²/100 + 16²/40) = √8.09 = 2.844

Statistik ujian

z = (54 − 55.7)/2.844 = −0.5977

Jawapan

z = −0.5977

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 501.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·20/√25 = 6.58

Had selang

U = 494.8 + 6.58 = 501.4

Jawapan

U = 501.4

13.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9031

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 1591 − 27·337/6 = 74.5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17.5

S_yy = 19317 − 337²/6 = 388.8

Pekali korelasi

r = 74.5/√(17.5·388.8) = 0.9031

Jawapan

r = 0.9031

14.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 35.59

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 230/6 = 38.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Garis regresi

b = 48/17.5 = 2.743

a = 38.33 − 2.743·3.5 = 28.73

ŷ = 28.73 + 2.743·x

Ramalan

ŷ = 28.73 + 2.743·2.5 = 35.59

Jawapan

ŷ = 35.59

15.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 20

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

pelajar: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35

kakitangan: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21

Statistik khi kuasa dua

χ² = (25 − 20)²/20 + (53 − 45)²/45 + (22 − 35)²/35 + (7 − 12)²/12 + (19 − 27)²/27 + (34 − 21)²/21

χ² = 20

Jawapan

χ² = 20

df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.

16.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 61.23

Kiraan jangkaan

umur 18–30: 50, 50

umur 31–50: 40, 40

umur 51+: 30, 30

Statistik khi kuasa dua

χ² = (68 − 50)²/50 + (32 − 50)²/50 + (48 − 40)²/40 + (32 − 40)²/40 + (4 − 30)²/30 + (56 − 30)²/30

χ² = 61.23

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 9.210

61.23 > 9.210

Jawapan

χ² = 61.23

χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology