Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Ralat piawai min menjadi lebih kecil apabila:
- ASaiz sampel meningkat
- BSaiz sampel berkurang
- CMin meningkat
- DPemboleh ubah diukur pada aras ordinal
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik menjalankan 20 analisis pada set data dan hanya melaporkan satu dengan p < 0.05. Amalan ini dipanggil:
- APengimbangan balas
- BPra-pendaftaran
- CTriangulasi
- DP-hacking
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 12, 44, 37, 45, 23, 29, 29.
n = 7
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 90.4.
μ = 100σ = 8x = 90.4
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €4 dengan kebarangkalian 0.15 dan €10 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €1€4: p = 0.15€10: p = 0.01
E(G) = €
7.Taburan normalSederhana
Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 16 daripadanya melebihi 397 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 16> 397 kg
P =
8.Taburan normalSukar
Ketinggian X lelaki dan Y wanita dalam satu kumpulan adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 180 cm dan sisihan piawai 10 cm, Y mempunyai min 170 cm dan sisihan piawai 12 cm. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 6 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 1.8 dan sisihan piawai 6.6. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min beza.
n = 6d̄ = 1.8sd = 6.699%t(5) = 4.032
had atas = mmHg
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 16. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?
σ = 16E = 1.599%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 48.88 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48.88s = 4n = 25
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 4. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 4E = 2.599%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “luar bandar, rendah”.
jumlah baris = 57jumlah lajur = 62N = 152
E =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Saiz sampel meningkat
Mengapa ini jawapannya
Ralat piawai menganggar sejauh mana min sampel berbeza di sekitar min populasi. Sampel lebih besar memberi anggaran yang lebih tepat.
Jawapan
A · Saiz sampel meningkat
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · P-hacking
Mengapa ini jawapannya
P-hacking mengeksploitasi kelenturan dalam analisis untuk mendapatkan signifikan, menaikkan kadar positif palsu jauh melebihi 5%. Pra-pendaftaran dan pelaporan telus mengurangkannya.
Jawapan
D · P-hacking
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 11.79
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 219/7 = 31.29
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−19.29)² + 12.71² + 5.714² + 13.71² + (−8.286)² + (−2.286)² + (−2.286)² = 833.4
Sisihan piawai
s = √(833.4/6) = 11.79
Jawapan
s = 11.79
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = −1.2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (90.4 − 100)/8 = −1.2
Jawapan
z = −1.2
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 0.6475
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
Varians
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
Jawapan
Var(X) = 0.6475
6.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = −0.3 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 3 (p = 0.15), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.84)
Nilai jangkaan
E(G) = 3·0.15 + 9·0.01 − 1·0.84 = −0.3 €
Jawapan
E(G) = −0.3 €
Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9332
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 400 kg, σT = 0.5·√16 = 2 kg
Piawaikan
z = (397 − 400)/2 = −1.5
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332
Jawapan
P = 0.9332
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7389
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
Piawaikan
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
Jawapan
P = 0.7389
9.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 12.66 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 5, t = 4.032
Margin ralat
E = 4.032·6.6/√6 = 10.86
Selang
1.8 ± 10.86 → [−9.064, 12.66]
Jawapan
had atas = 12.66 mmHg
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 756
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·16/1.5)² = 755
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 756
Jawapan
n = 756
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.4
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
Statistik ujian
t = (48.88 − 50)/0.8 = −1.4
Jawapan
t = −1.4
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 17
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (2.576·4/2.5)² = 16.99
Bundarkan ke atas
n = 17
Jawapan
n = 17
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9615
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 287/5 = 57.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 87
Syy = Σ(y − ȳ)² = 787.2
Pekali penentuan
r² = 87²/(10·787.2) = 0.9615
Jawapan
r² = 0.9615
Kira-kira 96.15% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 10.25
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 63/5 = 12.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Garis regresi
b = 94/40 = 2.35
a = 12.6 − 2.35·6 = −1.5
ŷ = −1.5 + 2.35·x
Ramalan
ŷ = −1.5 + 2.35·5 = 10.25
Jawapan
ŷ = 10.25
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: E = 23.25
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
E = 57·62/152 = 23.25
Jawapan
E = 23.25
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 2.778
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
loji A: 24, 16
loji B: 36, 24
loji C: 60, 40
Statistik khi kuasa dua
χ² = (28 − 24)²/24 + (12 − 16)²/16 + (37 − 36)²/36 + (23 − 24)²/24 + (55 − 60)²/60 + (45 − 40)²/40
χ² = 2.778
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
2.778 < 5.991
Jawapan
χ² = 2.778
χ² berada di bawah nilai genting, maka H₀ tidak ditolak: tiada bukti yang signifikan tentang hubungan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology