Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABCRA​ = ?2.5 m0.5 m1 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 30 kN pada 2.5 mP2 = 25 kN pada 4 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 10 kN/mP = 60 kNABCRA​ = ?2 m3 m3 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 2 m dari A dan beban teragih seragam w dari 5 m hingga hujung bebas pada 8 m. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 5 mAC = 8 mP = 60 kN pada 2 mw = 10 kN/m dari 5 hingga 8 m
RA = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 65 kNP2​ = 50 kNAB2 m1 m2 m

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 5 mP1 = 65 kN pada 2 mP2 = 50 kN pada 3 m
Mmax = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 5 kN/mP = 60 kNABkeratan4 m6 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 60 kN pada 4 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB15 kN4 m3 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 15 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH40 kN10 kN40 kN25 kN10 kN15 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 40 kN ↓C: 10 kN ↓F: 40 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
w = 2 kN/mP = 7 kNABδ1.5 m

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 7 kNw = 2 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 10 kN/mδL = 2.5 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 6 m30 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 20 kNL = 2 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 20 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 20 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = −3.333 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·3 = 30·2.5 + 25·4
RB = 175/3 = 58.33 kN

Keseimbangan menegak

RA = 30 + 25 − 58.33 = −3.333 kN

Jawapan

RA = −3.333 kN

RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 27 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban teragih

W = 10·3 = 30 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6.5 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·5 = 60·2 + 30·6.5
RB = 315/5 = 63 kN
RA = 90 − 63 = 27 kN

Jawapan

RA = 27 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 118 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣMA = 0: RB·5 = 65·2 + 50·3
RB = 280/5 = 56 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 56 = 59 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P1: M = RA·2 = 59·2 = 118 kN·m
di bawah P2: M = RB·2 = 56·2 = 112 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 118 kN·m (di bawah P1)

Jawapan

Mmax = 118 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 204 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·4 + 5·10·5
RB = 490/10 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 49 = 61 kN
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​ = 61RB​ = 49keratan4 m6 m

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 61·4 − 5·4·2 = 204 kN·m

Jawapan

Mx = 204 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAB = −5.303 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 → Cy = 11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 11.25 = 3.75 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3.75/0.7071 = −5.303 kN

Jawapan

FAB = −5.303 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 48.75 kN (T), BC: 48.75 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 67.5 kN (C), AF: 106.3 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 6.25 kN (T), HC: 37.5 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 15.36 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(3EI) = 7000·1500³/(3·5.95 × 10¹¹) = 13.24 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·5.95 × 10¹¹) = 2.127 mm

Tambahkannya

δ = 13.24 + 2.127 = 15.36 mm

Jawapan

δ = 15.36 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 10.46 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.046 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10.46 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 10.46 × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 8.636 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/3000² = 8636 N = 8.636 kN

Jawapan

Pcr = 8.636 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 41.23 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 41.23 mm

Jawapan

d = 41.23 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 135.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis