Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?2 m4 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 2 m dari dinding. Cari tindak balas menegak RA pada dinding.

L = 6 mP = 55 kN pada 2 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 6 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 4 kN/mP = 55 kNABCRA​ = ?5 m1 m1 m3 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 7 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 5 m dari A dan beban teragih seragam w dari 6 m hingga hujung bebas pada 10 m. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 7 mAC = 10 mP = 55 kN pada 5 mw = 4 kN/m dari 6 hingga 10 m
RA = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
6 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 3 m6 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Daya ricih & momen lenturSukar
8 kN/m40 kN30 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 0 m30 kN @ 6 m45 kN @ 2 m8 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH20 kN35 kN35 kN20 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓G: 35 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH30 kN10 kN20 kN10 kN25 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
P = 25 kNABδ2 m1 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2 m dari penyokong A. Cari pesongan δP di bawah beban.

P = 25 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 17 kNABδ3 m1 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δmax rasuk.

P = 17 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1.5 m30 × 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 65 kNL = 2 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 65 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 91 kN

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m

Keseimbangan menegak

RA = P + W = 55 + 36 = 91 kN

Jawapan

RA = 91 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 13.43 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban teragih

W = 4·4 = 16 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·7 = 55·5 + 16·8
RB = 403/7 = 57.57 kN
RA = 71 − 57.57 = 13.43 kN

Jawapan

RA = 13.43 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 46 kN, R2 = 38 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 43, MC = 80, MD = 111 kN·m, ME = 76, MF = 38, MG = 0

Jawapan

Tanda D: MD = 111 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 75.33 kN, R2 = 63.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −40, MC = −8.667, MD = −30.33, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −60 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 73.33 kN (T), BC: 73.33 kN (T), CD: 73.33 kN (T), DE: 73.33 kN (T), FG: 120 kN (C), GH: 120 kN (C), AF: 91.67 kN (C), HE: 91.67 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 58.33 kN (T), HC: 58.33 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 8.75 kN (T), BC: 8.75 kN (T), CD: 36.25 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 57.5 kN (C), GH: 57.5 kN (C), AF: 47.73 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 33.59 kN (T), HC: 5.303 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δP = 13.23 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·2000²·1000²/(3·8.4 × 10¹¹·3000) = 13.23 mm

Jawapan

δP = 13.23 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 6.285 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Pesongan maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 6.285 mm

Jawapan

δmax = 6.285 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 118.4 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1500² = 118435 N = 118.4 kN

Jawapan

Pcr = 118.4 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 48.13 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 48.13 mm

Jawapan

d = 48.13 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 166.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis