Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?6 m1 m3 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 10 mP1 = 20 kN pada 6 mP2 = 50 kN pada 7 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?3 m1.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 6 mP = 60 kN pada 4.5 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 3 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 2 kN/mABkeratan3.5 m0.5 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 3.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 3 kN/mP = 25 kNAB6 m4 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 10 mP = 25 kN pada 6 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 10 m
Mmax = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB45 kN5 m3 m4 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 45 kN
FBC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB35 kN25 kN6 m1 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 35 kNbeban mengufuk = 25 kN ←
FBC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
P = 5 kNABδ2 m1 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2 m dari penyokong A. Cari pesongan δP di bawah beban.

P = 5 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 55 kNAB4 m4 m

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur MA pada hujung tetap.

L = 8 mP = 55 kN pada 4 m
MA = kN·m
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 m25 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 6 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 47 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​6 m1 m3 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·10 = 20·6 + 50·7
RB = 470/10 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 47 = 23 kN

Jawapan

RB = 47 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 48.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​RB​3 m1.5 m1.5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, bertindak pada x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4.5 + 5·3·1.5
RB = 292.5/6 = 48.75 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 48.75 = 26.25 kN

Jawapan

RB = 48.75 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 1.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, bertindak pada x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 4RB​ = 4keratan3.5 m0.5 m

Potong pada x = 3.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 4·3.5 − 2·3.5·1.75 = 1.75 kN·m

Jawapan

Mx = 1.75 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 96 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·6 + 3·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 30 = 25 kN

Di manakah V = 0?

V(6⁻) = RA − w·6 = 7 kN
V(6⁺) = 7 − 25 = −18 kN
Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 25·6 − 3·6²/2 = 96 kN·m

Jawapan

Mmax = 96 kN·m

Ia berlaku pada x = 6 m dari A.

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −30.19 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·3 → Cy = 27 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 27 = 18 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −27/0.8944 = −30.19 kN

Jawapan

FBC = −30.19 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = 6.731 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB35 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·1 − 25·2 → Cy = −2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − −2.5 = 37.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−2.5/0.3714 = 6.731 kN

Jawapan

FBC = 6.731 kN (tegangan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δP = 1.307 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 5000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·2000²·1000²/(3·1.7 × 10¹²·3000) = 1.307 mm

Jawapan

δP = 1.307 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: MA = 82.5 kN·m

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Bagi rasuk tak boleh tentu secara statik, alihkan satu penyokong lebihan dan tetapkan pesongan di situ sifar (keserasian).

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang RB sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak RBL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17.19 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

MA = P·L/2 − RB·L = 220 − 137.5 = 82.5 kN·m

Jawapan

MA = 82.5 kN·m
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 8.032 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/4000² = 8032 N = 8.032 kN

Jawapan

Pcr = 8.032 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 3.917 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/10 = 420

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/420² = 3.917 MPa

Jawapan

σcr = 3.917 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis