Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 25 kNP2​ = 25 kNABCRB​ = ?3 m0.5 m1.5 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 3.5 mAC = 5 mP1 = 25 kN pada 3 mP2 = 25 kN pada 5 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m1.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 4 mP = 25 kN pada 2.5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 1 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 55 kNP2​ = 60 kNABC1 m4 m2 m

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P1 di antara penyokong dan beban titik P2 pada C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 7 mP1 = 55 kN pada 1 mP2 = 60 kN pada 7 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
25 kN50 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

25 kN @ 0 m50 kN @ 6 m20 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH35 kN40 kN15 kN40 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 35 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB15 kN10 kN6 m4 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 3 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 15 kNbeban mengufuk = 10 kN ←
FAC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
P = 23 kNABδ1 m5 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 1 m dari penyokong A. Cari pesongan δP di bawah beban.

P = 23 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 4 kN/mABδ3.5 m

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 100 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari kedalaman terkecil hreq bagi keratan itu.

w = 4 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 100 mm
hreq = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 3 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 57.14 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·3.5 = 25·3 + 25·5
RB = 200/3.5 = 57.14 kN

Keseimbangan menegak

RA = 25 + 25 − 57.14 = −7.143 kN

Jawapan

RB = 57.14 kN

RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 17.13 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m1.5 m1.5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 0.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2.5 + 12·1·0.5
RB = 68.5/4 = 17.13 kN
ΣFy = 0: RA = 37 − 17.13 = 19.88 kN

Jawapan

RB = 17.13 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 20 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1 + 60·7
RB = 475/5 = 95 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 95 = 20 kN

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Mx = RA·1 = 20·1 = 20 kN·m

Jawapan

Mx = 20 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 13.33 kN, R2 = 81.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −25, MC = −36.67, MD = −68.33, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −100 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 55.31 kN (T), BC: 55.31 kN (T), CD: 42.19 kN (T), DE: 42.19 kN (T), FG: 54.37 kN (C), GH: 54.37 kN (C), AF: 92.19 kN (C), HE: 70.31 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 1.563 kN (C), HC: 20.31 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAC = 3.333 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB15 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 − 10·3 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5 = 10 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.8321 = −6.009 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6.009)·0.5547 = 3.333 kN

Jawapan

FAC = 3.333 kN (tegangan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δP = 34.57 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·5000²/(3·9.24 × 10¹¹·6000) = 34.57 mm

Jawapan

δP = 34.57 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: hreq = 206.2 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·9.722) = 7.308 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·7.308 × 10⁷/100)1/3 = 206.2 mm

Jawapan

hreq = 206.2 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 9.462 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9.462 kN

Jawapan

Pcr = 9.462 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 4.318 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σcr = 4.318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis