Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 7 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 20 kN pada 2 mP₂ = 70 kN pada 10 m

R_A = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (3.5 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (6 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 5 m dari A, beban teragih seragam w pada seluruh bahagian CD dan beban titik Q pada 1 m dari A. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

AC = 3.5 mAD = 6 mP = 75 kN pada 5 mw = 5 kN/m dari 3.5 hingga 6 mQ = 10 kN pada 1 m

M_A = kN·m

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

20 kN @ 6 m15 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 25 kN pada 2 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 25 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓H: 30 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 4.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 29 kNa = 4.5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = −15.71 kN

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 20·2 + 70·10

R_B = 740/7 = 105.7 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 20 + 70 − 105.7 = −15.71 kN

Jawapan

R_A = −15.71 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 136.9 kN·m

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

W = 5·2.5 = 12.5 kN pada 1.25 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·2.5 = 75·1.5 + 12.5·1.25

R_D = 51.25 kN

V_C = 87.5 − 51.25 = 36.25 kN

Bahagian AC

Daya engsel V_C bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).

R_A = 10 + 36.25 = 46.25 kN

M_A = 10·1 + 36.25·3.5 = 136.9 kN·m

Jawapan

M_A = 136.9 kN·m

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 22.5 kN, R₂ = 12.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 60, M_D = 75 kN·m, M_E = 50, M_F = 25, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 75 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 35 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 5·4·2

R_B = 90/4 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22.5 = 22.5 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 22.5·2 − 5·2·1 = 35 kN·m

Jawapan

M_x = 35 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −7.071 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20 = 5 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0.7071 = −7.071 kN

Jawapan

F_AB = −7.071 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 16.25 kN (T), BC: 16.25 kN (T), CD: 68.75 kN (T), DE: 68.75 kN (T), FG: 92.5 kN (C), GH: 92.5 kN (C), AF: 65.41 kN (C), HE: 97.23 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 65.41 kN (T), HC: 8.839 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 26.76 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 29000·4500²·3500²/(3·1.12 × 10¹³·8000) = 26.76 mm

Jawapan

δ_P = 26.76 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 6.094 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·2000³/(48·2.53 × 10¹¹) = 1.976 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 4.117 mm

Tambahkannya

δ_max = 1.976 + 4.117 = 6.094 mm

Jawapan

δ_max = 6.094 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 143.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2000² = 143932 N = 143.9 kN

Jawapan

P_cr = 143.9 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 226.6 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7.5 = 93.33

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93.33² = 226.6 MPa

Jawapan

σ_cr = 226.6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis