Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w0​ = 12 kN/mABRB​ = ?8 m

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, turun daripada 12 kN/m di A kepada sifar di B. Cari tindak balas penyokong menegak RB.

L = 8 mw0 = 12 kN/m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
P = 45 kN, 60°Q = 40 kNABα = ?6 m3 m1 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 6 m dari A, condong pada 60° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 9 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.

L = 10 mP = 45 kN pada 6 m, θ = 60°Q = 40 kN pada 9 m
α = °
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
M0​ = 45 kN·mAB3.5 m2.5 m

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M0 = 45 kN·m pada x = 3.5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur Mx sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mM0 = 45 kN·m ikut arah jam, pada 3.5 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 10 kN/mP = 60 kNABkeratan1 m3 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 60 kN pada 1 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH25 kN35 kN15 kN40 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 25 kN ↓C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH40 kN20 kN40 kN20 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
w = 12 kN/mP = 25 kNABδ3 m

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 25 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 7 kNP = 7 kNABδ2 m2 m2 m

Rasuk disokong mudah membawa dua beban titik sama P pada titik sepertiganya (L/3 dari setiap penyokong). Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δmax di tengah rentang.

P = 7 kNL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 m50 × 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 100 kNL = 2 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 100 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 16 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·8 = 48·2.667
RB = 16 kN
RA = 48 − 16 = 32 kN

Jawapan

RB = 16 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: α = 41.04 °

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

Pv = 45·sin 60° = 38.97 kN
Ph = 45·cos 60° = 22.5 kN

Tindak balas

ΣMA = 0: RB·10 = 38.97·6 + 40·9 → RB = 59.38 kN
Ay = 38.97 + 40 − 59.38 = 19.59 kN
Ax = Ph = 22.5 kN

Arah pada A

α = atan(Ay/Ax) = atan(19.59/22.5) = 41.04°

Jawapan

α = 41.04°
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 18.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: RB·L − M0 = 0. Keseimbangan menegak: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/6 = 7.5 kN (ke atas)
RA = −RB = −7.5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi RA dan pasangan daya.

Mx = RA·a + M0 = −7.5·3.5 + 45 = 18.75 kN·m

Jawapan

Mx = 18.75 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 60 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1 + 10·4·2
RB = 140/4 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 35 = 65 kN
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = 65RB​ = 35keratan1 m3 m

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 65·1 − 10·1·0.5 = 60 kN·m

Jawapan

Mx = 60 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 98.99 kN (C), HE: 63.64 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 7.071 kN (T), HC: 42.43 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 77.78 kN (C), HE: 63.64 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 21.21 kN (T), HC: 7.071 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 30.94 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(3EI) = 25000·3000³/(3·1.12 × 10¹³) = 20.09 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 10.85 mm

Tambahkannya

δ = 20.09 + 10.85 = 30.94 mm

Jawapan

δ = 30.94 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 6.389 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

Satu beban pada L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 3.194 mm

Tambah kedua-dua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 6.389 mm

Jawapan

δmax = 6.389 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 308.4 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2000² = 308425 N = 308.4 kN

Jawapan

Pcr = 308.4 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 53.6 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·100000 = 200000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.6 mm

Jawapan

d = 53.6 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 149.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis