Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 20 kN pada 3 mP₂ = 45 kN pada 8 m

R_B = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 2.5 m dari A, condong pada 40° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 0.5 m dari A. Cari magnitud daya tindak balas jumlah R_A pada pin A.

L = 4 mP = 65 kN pada 2.5 m, θ = 40°Q = 50 kN pada 0.5 m

R_A = kN

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 6 m15 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 10 mP = 75 kN pada 3 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 m

M_max = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 3 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 55 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 3 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 40 kNbeban mengufuk = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 11 kNw = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 8 mw = 6 kN/m

R_B = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 5 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 84 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3 + 45·8

R_B = 420/5 = 84 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 20 + 45 − 84 = −19 kN

Jawapan

R_B = 84 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 77.52 kN

Komponen P

P_v = 65·sin 40° = 41.78 kN

P_h = 65·cos 40° = 49.79 kN

Tindak balas

ΣM_A = 0: R_B·4 = 41.78·2.5 + 50·0.5 → R_B = 32.36 kN

A_y = 41.78 + 50 − 32.36 = 59.42 kN

A_x = P_h = 49.79 kN

Paduan pada A

R_A = √(49.79² + 59.42²) = 77.52 kN

Jawapan

R_A = 77.52 kN

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 25 kN, R₂ = 35 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100, M_D = 150 kN·m, M_E = 110, M_F = 70, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 150 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 283.6 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·3 + 12·10·5

R_B = 825/10 = 82.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 195 − 82.5 = 112.5 kN

Di manakah V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (112.5 − 75)/12 = 3.125 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 3) − w·x₀²/2 = 283.6 kN·m

Jawapan

M_max = 283.6 kN·m

Ia berlaku pada x = 3.125 m dari A.

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 14.67 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·4 → C_y = 44 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 44 = 11 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −44/0.9487 = −46.38 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46.38)·0.3162 = 14.67 kN

Jawapan

F_AC = 14.67 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −43.06 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·4 − 25·3 → C_y = 14.17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 14.17 = 25.83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25.83/0.6 = −43.06 kN

Jawapan

F_AB = −43.06 kN (mampatan)

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 5.005 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 11000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 11000·1500³/(3·3.99 × 10¹²) = 3.102 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 1.903 mm

Tambahkannya

δ = 3.102 + 1.903 = 5.005 mm

Jawapan

δ = 5.005 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 18 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

Jawapan

R_B = 18 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 313.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN

Jawapan

P_cr = 313.9 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 19.84 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 19.84 mm

Jawapan

d = 19.84 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 201.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis