Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?2 m1.5 m2.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 6 mP1 = 15 kN pada 2 mP2 = 10 kN pada 3.5 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.

L = 4 mP = 10 kN pada 1 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 2 m
RA = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 12 kN/mABkeratan4.5 m5.5 m

Cari daya ricih Vx pada keratan x = 4.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 4.5 m
Vx = kN
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mP = 55 kNABkeratan4 m1 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 55 kN pada 4 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB50 kN8 m7 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 2 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 50 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB20 kN30 kN8 m7 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 2 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 20 kNbeban mengufuk = 30 kN →
FAC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
w = 2 kN/mδL = 6 m

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 2.5 kN/mABδ3 m

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 50 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/250. Cari kedalaman terkecil hreq bagi keratan itu.

w = 2.5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 50 mm
hreq = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1.5 md = 20 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 40 kNL = 2 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 40 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 10.83 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​2 m1.5 m2.5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 10·3.5
RB = 65/6 = 10.83 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 10.83 = 14.17 kN

Jawapan

RB = 10.83 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 25.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 12·2·1
RB = 34/4 = 8.5 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 8.5 = 25.5 kN

Jawapan

RA = 25.5 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Vx = 6 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60keratan4.5 m5.5 m

Potong pada x = 4.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri keratan)
Vx = 60 − 12·4.5 = 6 kN

Jawapan

Vx = 6 kN
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 68 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·4 + 12·5·2.5
RB = 370/5 = 74 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 74 = 41 kN
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​ = 41RB​ = 74keratan4 m1 m

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 41·4 − 12·4·2 = 68 kN·m

Jawapan

Mx = 68 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAB = −22.75 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·7 → Cy = 43.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 43.75 = 6.25 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/7.28 = 0.2747
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6.25/0.2747 = −22.75 kN

Jawapan

FAB = −22.75 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAC = 12.5 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB20 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·7 + 30·2 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 25 = −5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0.8944 = −27.95 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−27.95)·0.4472 = 12.5 kN

Jawapan

FAC = 12.5 kN (tegangan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 13.5 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 2·6000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 13.5 mm

Jawapan

δ = 13.5 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: hreq = 168.6 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2.5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·3000⁴/(384·11000·12) = 1.998 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.998 × 10⁷/50)1/3 = 168.6 mm

Jawapan

hreq = 168.6 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 27.56 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·1500 = 750 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/750² = 27561 N = 27.56 kN

Jawapan

Pcr = 27.56 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 33.36 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 33.36 mm

Jawapan

d = 33.36 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 119.9, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis