Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P = 40 kNM = 50 kN·mABRA​ = ?6 m1 m3 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 7 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 6 m dari A. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

L = 10 mP = 40 kN pada 7 mM = 50 kN·m (lawan arah jam) pada 6 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m1 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 6 mP = 30 kN pada 1 mw = 6 kN/m dari 3 hingga 4 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 10 kNP2​ = 40 kNAB1.5 m1 m1.5 m

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 4 mP1 = 10 kN pada 1.5 mP2 = 40 kN pada 2.5 m
Mmax = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mAB2 m4 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 6 mw = 12 kN/m dari 2 hingga 6 m
Mmax = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH30 kN10 kN30 kN10 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

C: 30 kN ↓D: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH30 kN30 kN40 kN35 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

F: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
7.Pesongan rasukSederhana
w = 4 kN/mδL = 6 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 50 kNAB4 m4 m

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur MA pada hujung tetap.

L = 8 mP = 50 kN pada 4 m
MA = kN·m
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 6 m50 × 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 75 kNL = 1.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 75 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 17 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·10 − 40·7 + 50 = 0
RB = 230/10 = 23 kN

Keseimbangan menegak

RA = 40 − 23 = 17 kN

Jawapan

RA = 17 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 8.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​RB​1 m2 m1 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, bertindak pada x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·1 + 6·1·3.5
RB = 51/6 = 8.5 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 8.5 = 27.5 kN

Jawapan

RB = 8.5 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 43.13 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣMA = 0: RB·4 = 10·1.5 + 40·2.5
RB = 115/4 = 28.75 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 28.75 = 21.25 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P1: M = RA·1.5 = 21.25·1.5 = 31.88 kN·m
di bawah P2: M = RB·1.5 = 28.75·1.5 = 43.13 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 43.13 kN·m (di bawah P2)

Jawapan

Mmax = 43.13 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 42.67 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·4·4
RB = 192/6 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 32 = 16 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada RA, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 16/12 = 3.333 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 16·3.333 − 12·1.333²/2 = 42.67 kN·m

Jawapan

Mmax = 42.67 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 63.64 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 49.5 kN (T), HC: 35.36 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 21.25 kN (T), BC: 47.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 56.25 kN (C), GH: 78.75 kN (C), AF: 79.55 kN (C), HE: 61.87 kN (C), BF: 26.25 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (T), BG: 37.12 kN (C), DG: 5.303 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 4.018 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 4.018 mm

Jawapan

δmax = 4.018 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: MA = 75 kN·m

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Bagi rasuk tak boleh tentu secara statik, alihkan satu penyokong lebihan dan tetapkan pesongan di situ sifar (keserasian).

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang RB sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak RBL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

MA = P·L/2 − RB·L = 200 − 125 = 75 kN·m

Jawapan

MA = 75 kN·m
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 32.64 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4200² = 32638 N = 32.64 kN

Jawapan

Pcr = 32.64 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 62.16 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·75000 = 225000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 62.16 mm

Jawapan

d = 62.16 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 96.53, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis