Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 55 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?4 m1 m5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 10 mP1 = 55 kN pada 4 mP2 = 30 kN pada 5 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 6 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m1 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 8 mP = 10 kN pada 1 mw = 6 kN/m dari 5 hingga 6 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 2 kN/mABkeratan1 m9 m

Cari daya ricih Vx pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 1 m
Vx = kN
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mAB2 m2 m2 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x0 dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.

L = 6 mw = 12 kN/m dari 2 hingga 4 m
x0 = m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB45 kN5 m1 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 45 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB45 kN20 kN8 m3 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 45 kNbeban mengufuk = 20 kN →
FBC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
w = 12 kN/mδL = 6 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 17 kNABδ2.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1.5 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δmax rasuk.

P = 17 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 1.5 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 37 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 55 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​4 m1 m5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·10 = 55·4 + 30·5
RB = 370/10 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 37 = 48 kN

Jawapan

RB = 37 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 5.375 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 6 kN/mP = 10 kNABRA​RB​1 m4 m1 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, bertindak pada x̄ = 5.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·1 + 6·1·5.5
RB = 43/8 = 5.375 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 5.375 = 10.63 kN

Jawapan

RB = 5.375 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Vx = 8 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10keratan1 m9 m

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri keratan)
Vx = 10 − 2·1 = 8 kN

Jawapan

Vx = 8 kN
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x0 = 3 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·2·3
RB = 72/6 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada RA, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 12/12 = 3 m

Jawapan

x0 = 3 m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAB = −40.25 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 9 = 36 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36/0.8944 = −40.25 kN

Jawapan

FAB = −40.25 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −47.38 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB45 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·3 + 20·3 → Cy = 24.38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 24.38 = 20.63 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24.38/0.5145 = −47.38 kN

Jawapan

FBC = −47.38 kN (mampatan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 44.02 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 44.02 mm

Jawapan

δmax = 44.02 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 4.533 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Pesongan maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 4.533 mm

Jawapan

δmax = 4.533 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 37.85 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37.85 kN

Jawapan

Pcr = 37.85 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 69.09 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·1500 = 750 mm
KL/r = 750/7.5 = 100

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

Jawapan

σcr = 69.09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis