Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w0​ = 12 kN/mP = 80 kNABRB​ = ?0.5 m4.5 m

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, naik daripada sifar di A kepada 12 kN/m di B. Beban titik P juga bertindak pada 0.5 m dari A. Cari tindak balas penyokong menegak RB.

L = 5 mw0 = 12 kN/mP = 80 kN pada 0.5 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 8 kN/mP = 75 kNABCRB​ = ?3 m1 m1 m3 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 3 m dari A dan beban teragih seragam w dari 4 m hingga hujung bebas pada 8 m. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 5 mAC = 8 mP = 75 kN pada 3 mw = 8 kN/m dari 4 hingga 8 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 3 kN/mABkeratan8 m2 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 8 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 6 kN/mAB3 m2 m1 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x0 dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.

L = 6 mw = 6 kN/m dari 3 hingga 5 m
x0 = m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB60 kN5 m1 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 60 kN
FBC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH35 kN25 kN10 kN20 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 35 kN ↓F: 25 kN ↓H: 10 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
7.Pesongan rasukSederhana
P = 15 kNABδ3.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 3.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δP di bawah beban.

P = 15 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 6 kN/mP = 27 kNδL = 6 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δmax.

P = 27 kNw = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 6 m30 × 100 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 1 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 28 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·12·5 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·5 = 30·3.333 + 80·0.5
RB = 28 kN
RA = 110 − 28 = 82 kN

Jawapan

RB = 28 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 83.4 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban teragih

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·5 = 75·3 + 32·6
RB = 417/5 = 83.4 kN
RA = 107 − 83.4 = 23.6 kN

Jawapan

RB = 83.4 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 24 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15keratan8 m2 m

Potong pada x = 8 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 15·8 − 3·8·4 = 24 kN·m

Jawapan

Mx = 24 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x0 = 3.667 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·2·4
RB = 48/6 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 8 = 4 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada RA, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 4/6 = 3.667 m

Jawapan

x0 = 3.667 m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −26.83 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 12 = 48 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0.4472 = −26.83 kN

Jawapan

FBC = −26.83 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 15 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 49.5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), BG: 14.14 kN (C), DG: 14.14 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δP = 32.81 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 15000·3500²·1500²/(3·8.4 × 10¹¹·5000) = 32.81 mm

Jawapan

δP = 32.81 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 37.88 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 27000 N, w = 6 N/mm, L = 6000 mm, EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(48EI) = 27000·6000³/(48·5.88 × 10¹²) = 20.66 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 17.22 mm

Tambahkannya

δmax = 20.66 + 17.22 = 37.88 mm

Jawapan

δmax = 37.88 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 17.27 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3000² = 17272 N = 17.27 kN

Jawapan

Pcr = 17.27 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 19.28 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6.25 = 320

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa

Jawapan

σcr = 19.28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis