Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w = 2 kN/mP = 75 kNABRA​ = ?8 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 8 m dari dinding. Cari tindak balas menegak RA pada dinding.

L = 8 mP = 75 kN pada 8 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 8 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w0​ = 20 kN/mP = 55 kNABMA​ = ?3 m7 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 20 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 3 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.

L = 10 mw0 = 20 kN/mP = 55 kN pada 3 m
MA = kN·m
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 65 kNP2​ = 80 kNABC2.5 m2.5 m1.5 m

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P1 di antara penyokong dan beban titik P2 pada C. Cari daya ricih Vx sejurus di sebelah kiri penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6.5 mP1 = 65 kN pada 2.5 mP2 = 80 kN pada 6.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m
Vx = kN
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mP = 35 kNABkeratan1.5 m3.5 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 35 kN pada 1.5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB25 kN6 m4 m4 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 4 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 25 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH15 kN40 kN10 kN10 kN15 kN10 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 15 kN ↓D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓F: 10 kN →G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
7.Pesongan rasukSederhana
w = 20 kN/mδL = 2 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 2 kN/mP = 15 kNδL = 2 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δmax.

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 m20 × 100 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 25 kNL = 1.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 25 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 91 kN

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 2·8 = 16 kN, x̄ = 4 m

Keseimbangan menegak

RA = P + W = 75 + 16 = 91 kN

Jawapan

RA = 91 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: MA = 831.7 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·20·10 = 100 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m

Momen pada dinding

MA = W·x̄ + P·a = 100·6.667 + 55·3 = 831.7 kN·m

Jawapan

MA = 831.7 kN·m
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Vx = −56.5 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣMA = 0: RB·5 = 65·2.5 + 80·6.5
RB = 682.5/5 = 136.5 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 136.5 = 8.5 kN

Keratan sejurus di sebelah kiri B dan simpan bahagian kiri

Vx = RA − P1 = 8.5 − 65 = −56.5 kN

Jawapan

Vx = −56.5 kN
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 68.25 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·1.5 + 12·5·2.5
RB = 202.5/5 = 40.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 40.5 = 54.5 kN
w = 12 kN/mP = 35 kNABRA​ = 54.5RB​ = 40.5keratan1.5 m3.5 m

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 54.5·1.5 − 12·1.5·0.75 = 68.25 kN·m

Jawapan

Mx = 68.25 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAB = −11.79 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·4 → Cy = 16.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 16.67 = 8.333 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8.333/0.7071 = −11.79 kN

Jawapan

FAB = −11.79 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 59.17 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 75 kN (T), DE: 70.83 kN (T), FG: 59.17 kN (C), GH: 70.83 kN (C), AF: 61.46 kN (C), HE: 88.54 kN (C), BF: 26.88 kN (T), CG: 0, DH: 43.13 kN (T), BG: 19.79 kN (C), DG: 5.208 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 6.645 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 6.645 mm

Jawapan

δmax = 6.645 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 4.902 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(48EI) = 15000·2000³/(48·5.95 × 10¹¹) = 4.202 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 0.7003 mm

Tambahkannya

δmax = 4.202 + 0.7003 = 4.902 mm

Jawapan

δmax = 4.902 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 5.875 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2800² = 5875 N = 5.875 kN

Jawapan

Pcr = 5.875 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 36.33 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 36.33 mm

Jawapan

d = 36.33 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 165.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis