Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P = 40 kNM = 40 kN·mABRB​ = ?1 m6 m3 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 7 m dari A dan pasangan daya ikut arah jam M pada 1 m dari A. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.

L = 10 mP = 40 kN pada 7 mM = 40 kN·m (ikut arah jam) pada 1 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 5 mP = 55 kN pada 1 mw = 6 kN/m dari 1 hingga 5 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 75 kNP2​ = 55 kNAB1.5 m0.5 m2 m

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 4 mP1 = 75 kN pada 1.5 mP2 = 55 kN pada 2 m
Mmax = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
6 kN/m10 kN60 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 0 m60 kN @ 6 m45 kN @ 3 m6 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH25 kN30 kN30 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 25 kN ↓F: 30 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH25 kN20 kN20 kN35 kN30 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
w = 2 kN/mδL = 4 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 50 kNAB1.5 m1.5 m

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari tindak balas RB pada topang.

L = 3 mP = 50 kN pada 1.5 m
RB = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 3 md = 20 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 5 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 32 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·10 − 40·7 − 40 = 0
RB = 320/10 = 32 kN

Keseimbangan menegak

RA = 40 − 32 = 8 kN

Jawapan

RB = 32 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 25.4 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m4 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·1 + 6·4·3
RB = 127/5 = 25.4 kN
ΣFy = 0: RA = 79 − 25.4 = 53.6 kN

Jawapan

RB = 25.4 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 111.6 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣMA = 0: RB·4 = 75·1.5 + 55·2
RB = 222.5/4 = 55.63 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 55.63 = 74.38 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P1: M = RA·1.5 = 74.38·1.5 = 111.6 kN·m
di bawah P2: M = RB·2 = 55.63·2 = 111.3 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 111.6 kN·m (di bawah P1)

Jawapan

Mmax = 111.6 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 32 kN, R2 = 107 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −10, MC = 9, MD = 22, ME = −16, MF = −60 kN·m, MG = 0

Jawapan

Tanda F: MF = −60 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 32.81 kN (T), BC: 32.81 kN (T), CD: 30.94 kN (T), DE: 30.94 kN (T), FG: 43.12 kN (C), GH: 43.12 kN (C), AF: 54.69 kN (C), HE: 51.56 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 17.19 kN (T), HC: 20.31 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 37.5 kN (T), BC: 37.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 32.5 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 95.46 kN (C), HE: 45.96 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 10.61 kN (T), HC: 17.68 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 16.84 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 16.84 mm

Jawapan

δmax = 16.84 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: RB = 15.63 kN

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Bagi rasuk tak boleh tentu secara statik, alihkan satu penyokong lebihan dan tetapkan pesongan di situ sifar (keserasian).

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang RB sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak RBL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN

Jawapan

RB = 15.63 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 6.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6.89 kN

Jawapan

Pcr = 6.89 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 4.441 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/7.5 = 666.7

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

Jawapan

σcr = 4.441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis