Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 60 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m1 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 4 mP1 = 60 kN pada 2 mP2 = 35 kN pada 3 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w0​ = 4 kN/mP = 50 kNABMA​ = ?5 m1 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu 4 kN/m pada dinding dan menurun kepada sifar di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.

L = 6 mw0 = 4 kN/mP = 50 kN pada 5 m
MA = kN·m
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
M0​ = 55 kN·mAB5 m5 m

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M0 = 55 kN·m pada x = 5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur Mx sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 10 mM0 = 55 kN·m ikut arah jam, pada 5 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mP = 45 kNABkeratan0.5 m1.5 m2 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 45 kN pada 2 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB25 kN4 m1 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 25 kN
FBC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB50 kN20 kN8 m2 m4 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 4 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 50 kNbeban mengufuk = 20 kN ←
FBC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
P = 25 kNABδ6.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 6.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δP di bawah beban.

P = 25 kNa = 6.5 mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 2 kN/mP = 17 kNδL = 8 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δmax.

P = 17 kNw = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 md = 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 2 md = 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 56.25 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 60 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·4 = 60·2 + 35·3
RB = 225/4 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 56.25 = 38.75 kN

Jawapan

RB = 56.25 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: MA = 274 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·4·6 = 12 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Momen pada dinding

MA = W·x̄ + P·a = 12·2 + 50·5 = 274 kN·m

Jawapan

MA = 274 kN·m
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 27.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: RB·L − M0 = 0. Keseimbangan menegak: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 55/10 = 5.5 kN (ke atas)
RA = −RB = −5.5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi RA dan pasangan daya.

Mx = RA·a + M0 = −5.5·5 + 55 = 27.5 kN·m

Jawapan

Mx = 27.5 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 21.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 12·4·2
RB = 186/4 = 46.5 kN
ΣFy = 0: RA = 93 − 46.5 = 46.5 kN
w = 12 kN/mP = 45 kNABRA​ = 46.5RB​ = 46.5keratan0.5 m1.5 m2 m

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 46.5·0.5 − 12·0.5·0.25 = 21.75 kN·m

Jawapan

Mx = 21.75 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −11.27 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.25 = 18.75 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.25/0.5547 = −11.27 kN

Jawapan

FBC = −11.27 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −4.507 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB50 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·2 − 20·4 → Cy = 2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 2.5 = 47.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2.5/0.5547 = −4.507 kN

Jawapan

FBC = −4.507 kN (mampatan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δP = 13.75 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·6500²·1500²/(3·7.2 × 10¹²·8000) = 13.75 mm

Jawapan

δP = 13.75 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 34.29 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, w = 2 N/mm, L = 8000 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(48EI) = 17000·8000³/(48·8.4 × 10¹²) = 21.59 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 12.7 mm

Tambahkannya

δmax = 21.59 + 12.7 = 34.29 mm

Jawapan

δmax = 34.29 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 37.85 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN

Jawapan

Pcr = 37.85 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 69.09 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

Jawapan

σcr = 69.09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis