Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w0​ = 4 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?6 m2 m

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, naik daripada sifar di A kepada 4 kN/m di B. Beban titik P juga bertindak pada 6 m dari A. Cari tindak balas penyokong menegak RA.

L = 8 mw0 = 4 kN/mP = 45 kN pada 6 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
P = 75 kN, 45°Q = 70 kNABα = ?0.5 m4 m0.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 0.5 m dari A, condong pada 45° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 4.5 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.

L = 5 mP = 75 kN pada 0.5 m, θ = 45°Q = 70 kN pada 4.5 m
α = °
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
5 kN/m10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 4 m5 kN/m, 2–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Daya ricih & momen lenturSukar
8 kN/m10 kN25 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 0 m25 kN @ 6 m35 kN @ 2 m8 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB25 kN4 m1 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 25 kN
FAC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH20 kN25 kN25 kN40 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 20 kN ↓F: 25 kN →G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
w = 10 kN/mδL = 5 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 1 kN/mABδ3.5 m

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 50 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/300. Cari kedalaman terkecil hreq bagi keratan itu.

w = 1 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 50 mm
hreq = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 5 m50 × 100 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 6 md = 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 16.58 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·8 = 16·5.333 + 45·6
RB = 44.42 kN
RA = 61 − 44.42 = 16.58 kN

Jawapan

RA = 16.58 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: α = 45.9 °

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

Pv = 75·sin 45° = 53.03 kN
Ph = 75·cos 45° = 53.03 kN

Tindak balas

ΣMA = 0: RB·5 = 53.03·0.5 + 70·4.5 → RB = 68.3 kN
Ay = 53.03 + 70 − 68.3 = 54.73 kN
Ax = Ph = 53.03 kN

Arah pada A

α = atan(Ay/Ax) = atan(54.73/53.03) = 45.9°

Jawapan

α = 45.9°
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 9.583 kN, R2 = 15.42 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 9.583, MC = 19.17, MD = 26.25, ME = 28.33 kN·m, MF = 15.42, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = 28.33 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 32 kN, R2 = 62 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −10, MC = 8, MD = −17, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −50 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAC = 6.25 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.25 = 18.75 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.25/0.7071 = −8.839 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8.839)·0.7071 = 6.25 kN

Jawapan

FAC = 6.25 kN (tegangan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 68.75 kN (T), BC: 68.75 kN (T), CD: 69.58 kN (T), DE: 69.58 kN (T), FG: 85.83 kN (C), GH: 85.83 kN (C), AF: 54.69 kN (C), HE: 86.98 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 21.35 kN (T), HC: 20.31 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 7.266 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 7.266 mm

Jawapan

δmax = 7.266 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: hreq = 154 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·11.67) = 1.523 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.523 × 10⁷/50)1/3 = 154 mm

Jawapan

hreq = 154 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 28.79 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/5000² = 28786 N = 28.79 kN

Jawapan

Pcr = 28.79 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 15.67 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15.67 MPa

Jawapan

σcr = 15.67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis