Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?3 m3 m2 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w dari dinding hingga 6 m dan beban titik P pada 3 m dari dinding. Cari tindak balas menegak RA pada dinding.

L = 8 mP = 30 kN pada 3 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 6 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?2 m4 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 8 mP = 25 kN pada 2 mw = 10 kN/m dari 6 hingga 8 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 5 kN/mP = 15 kNABkeratan2 m3 m

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 5 m dari A. Cari momen lentur Mx pada keratan x = 2 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5 mP = 15 kN pada 5 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
10 kN/m10 kN15 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 0 m15 kN @ 12 m15 kN @ 6 m10 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH25 kN35 kN15 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓G: 15 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH20 kN15 kN35 kN20 kN25 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

C: 20 kN ↓D: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 20 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
w = 2 kN/mδL = 6 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 4 kN/mδL = 8 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 m20 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 45 kNL = 4 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 45 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 48 kN

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m

Keseimbangan menegak

RA = P + W = 30 + 18 = 48 kN

Jawapan

RA = 48 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 23.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​RB​2 m4 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·2 + 10·2·7
RB = 190/8 = 23.75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 23.75 = 21.25 kN

Jawapan

RB = 23.75 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = −67.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −15·3 = −45 kN·m
w: −5·3²/2 = −22.5 kN·m
Mx = −45 − 22.5 = −67.5 kN·m

Jawapan

Mx = −67.5 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 38.33 kN, R2 = 61.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −20, MC = 16.67, MD = 13.33, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −60 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 26.25 kN (T), DE: 26.25 kN (T), FG: 33.75 kN (C), GH: 33.75 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 43.75 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 6.25 kN (T), HC: 12.5 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 29.58 kN (T), BC: 29.58 kN (T), CD: 65.42 kN (T), DE: 65.42 kN (T), FG: 109.2 kN (C), GH: 109.2 kN (C), AF: 68.23 kN (C), HE: 81.77 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 68.23 kN (T), HC: 23.44 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 7.337 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 7.337 mm

Jawapan

δmax = 7.337 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 137.1 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·8000⁴/(384·70000·22.22) = 1.371 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 137.1 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 137.1 × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 65.8 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1000² = 65797 N = 65.8 kN

Jawapan

Pcr = 65.8 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 87.81 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 87.81 mm

Jawapan

d = 87.81 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 364.4, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis