Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, naik daripada sifar di A kepada 4 kN/m di B. Beban titik P juga bertindak pada 3 m dari A. Cari tindak balas penyokong menegak R_B.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 35 kN pada 3 m

R_B = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 3 m dari A dan beban teragih seragam w dari 5 m hingga hujung bebas pada 8 m. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 5 mAC = 8 mP = 40 kN pada 3 mw = 12 kN/m dari 5 hingga 8 m

R_A = kN

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mP = 60 kN pada 4.5 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 35 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 30 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

7.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur M_A pada hujung tetap.

L = 3 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 45 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 23.79 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·5.333 + 35·3

R_B = 23.79 kN

R_A = 51 − 23.79 = 27.21 kN

Jawapan

R_B = 23.79 kN

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 5.2 kN

Daya paduan beban teragih

W = 12·3 = 36 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6.5 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 36·6.5

R_B = 354/5 = 70.8 kN

R_A = 76 − 70.8 = 5.2 kN

Jawapan

R_A = 5.2 kN

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 60 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Potong pada x = 5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 32·5 − 8·5·2.5 = 60 kN·m

Jawapan

M_x = 60 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 101.3 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4.5 + 10·6·3

R_B = 450/6 = 75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 75 = 45 kN

Potong pada x = 4.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 45·4.5 − 10·4.5·2.25 = 101.3 kN·m

Jawapan

M_x = 101.3 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −12.37 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26.25 = 8.75 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8.75/0.7071 = −12.37 kN

Jawapan

F_AB = −12.37 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 13.75 kN (T), BC: 42.5 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 51.25 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 28.75 kN (T), CG: 0, DH: 36.25 kN (T), BG: 40.66 kN (C), DG: 8.839 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.00558 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 12·5000³/(24·1.12 × 10¹³) = 0.00558 rad

Jawapan

θ_A = 0.00558 rad

Itu ialah 0.3197°.

8.Pesongan rasuk

Jawapan: M_A = 4.5 kN·m

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Bagi rasuk tak boleh tentu secara statik, alihkan satu penyokong lebihan dan tetapkan pesongan di situ sifar (keserasian).

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4.5 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 18 − 13.5 = 4.5 kN·m

Jawapan

M_A = 4.5 kN·m

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 7.311 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·6000 = 12000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/12000² = 7311 N = 7.311 kN

Jawapan

P_cr = 7.311 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 41.07 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 41.07 mm

Jawapan

d = 41.07 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 170.4, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis