Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 35 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.

L = 8 mP1 = 35 kN pada 2 mP2 = 25 kN pada 3 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​2 m3 m1 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.

L = 6 mP = 15 kN pada 5 mw = 12 kN/m dari 2 hingga 5 m
RA = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 75 kNP2​ = 75 kNABC3 m5 m2 m

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P1 di antara penyokong dan beban titik P2 pada C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 10 mP1 = 75 kN pada 3 mP2 = 75 kN pada 10 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mP = 30 kNABkeratan3 m7 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 3 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 30 kN pada 3 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH25 kN30 kN10 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH10 kN10 kN40 kN35 kN30 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 10 kN ↓C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
P = 30 kNABδ2 m3 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2 m dari penyokong A. Cari pesongan δP di bawah beban.

P = 30 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 20 kN/mP = 29 kNδL = 5 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δmax.

P = 29 kNw = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 5 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 1.5 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 41.88 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 35 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​2 m1 m5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 25·3
RB = 145/8 = 18.13 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 18.13 = 41.88 kN

Jawapan

RA = 41.88 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 17.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​RB​2 m3 m1 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, bertindak pada x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·5 + 12·3·3.5
RB = 201/6 = 33.5 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 33.5 = 17.5 kN

Jawapan

RA = 17.5 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 84.38 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣMA = 0: RB·8 = 75·3 + 75·10
RB = 975/8 = 121.9 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 121.9 = 28.13 kN

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Mx = RA·3 = 28.13·3 = 84.38 kN·m

Jawapan

Mx = 84.38 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 189 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·3 + 12·10·5
RB = 690/10 = 69 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 69 = 81 kN
w = 12 kN/mP = 30 kNABRA​ = 81RB​ = 69keratan3 m7 m

Potong pada x = 3 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 81·3 − 12·3·1.5 = 189 kN·m

Jawapan

Mx = 189 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 31.67 kN (T), BC: 31.67 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 63.33 kN (C), GH: 63.33 kN (C), AF: 39.58 kN (C), HE: 68.75 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 39.58 kN (T), HC: 10.42 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 14.06 kN (T), BC: 14.06 kN (T), CD: 27.19 kN (T), DE: 27.19 kN (T), FG: 54.38 kN (C), GH: 54.38 kN (C), AF: 73.44 kN (C), HE: 45.31 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 17.19 kN (T), HC: 4.688 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δP = 42.35 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 30000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 30000·2000²·3000²/(3·1.7 × 10¹²·5000) = 42.35 mm

Jawapan

δP = 42.35 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 14.18 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, w = 20 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(48EI) = 29000·5000³/(48·1.68 × 10¹³) = 4.495 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 9.688 mm

Tambahkannya

δmax = 4.495 + 9.688 = 14.18 mm

Jawapan

δmax = 14.18 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 200.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200.9 kN

Jawapan

Pcr = 200.9 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 35.25 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/7.5 = 140

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

Jawapan

σcr = 35.25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis