Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P = 80 kNM = 15 kN·mABRA​ = ?0.5 m1.5 m3 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 2 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 0.5 m dari A. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

L = 5 mP = 80 kN pada 2 mM = 15 kN·m (lawan arah jam) pada 0.5 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w0​ = 4 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?7 m1 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 4 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 7 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.

L = 8 mw0 = 4 kN/mP = 70 kN pada 7 m
MA = kN·m
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
15 kN/m40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Daya ricih & momen lenturSukar
15 kN/m50 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 12 m25 kN @ 4 m15 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH15 kN35 kN30 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH30 kN40 kN40 kN40 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓C: 40 kN ↓D: 40 kN ↓F: 40 kN →
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
P = 21 kNABδ0.5 m2.5 m

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 0.5 m dari A. Cari pesongan δB pada hujung bebas B.

P = 21 kNa = 0.5 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 40 kNAB4 m4 m

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari tindak balas RB pada topang.

L = 8 mP = 40 kN pada 4 m
RB = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 20 kNL = 2.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 20 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 20 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 51 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·5 − 80·2 + 15 = 0
RB = 145/5 = 29 kN

Keseimbangan menegak

RA = 80 − 29 = 51 kN

Jawapan

RA = 51 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: MA = 575.3 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m

Momen pada dinding

MA = W·x̄ + P·a = 16·5.333 + 70·7 = 575.3 kN·m

Jawapan

MA = 575.3 kN·m
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 65 kN, R2 = 65 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 57.5, MC = 100, MD = 127.5 kN·m, ME = 100, MF = 57.5, MG = 0

Jawapan

Tanda D: MD = 127.5 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 47.5 kN, R2 = 147.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 65, MC = 70, MD = −35, ME = −200 kN·m, MF = −100, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −200 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 21.56 kN (T), BC: 21.56 kN (T), CD: 38.44 kN (T), DE: 38.44 kN (T), FG: 43.12 kN (C), GH: 43.12 kN (C), AF: 35.94 kN (C), HE: 64.06 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 35.94 kN (T), HC: 7.813 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 82.5 kN (T), BC: 82.5 kN (T), CD: 67.5 kN (T), DE: 67.5 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 60.1 kN (C), HE: 95.46 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 17.68 kN (T), HC: 38.89 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δB = 2.951 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δP = Pa³/(3EI) = 0.3472 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001042 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.951 mm

Jawapan

δB = 2.951 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: RB = 12.5 kN

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Bagi rasuk tak boleh tentu secara statik, alihkan satu penyokong lebihan dan tetapkan pesongan di situ sifar (keserasian).

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang RB sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak RBL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·40/16 = 12.5 kN

Jawapan

RB = 12.5 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 19.62 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/8000² = 19621 N = 19.62 kN

Jawapan

Pcr = 19.62 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 52.11 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 52.11 mm

Jawapan

d = 52.11 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 191.9, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis