Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 80 kNP2​ = 65 kNABCRB​ = ?4 m2 m4 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 6 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 6 mAC = 10 mP1 = 80 kN pada 4 mP2 = 65 kN pada 10 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
P = 10 kN, 60°Q = 65 kNABα = ?2 m5 m3 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 7 m dari A, condong pada 60° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 2 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.

L = 10 mP = 10 kN pada 7 m, θ = 60°Q = 65 kN pada 2 m
α = °
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 10 kN/mABkeratan3.5 m6.5 m

Cari daya ricih Vx pada keratan x = 3.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 3.5 m
Vx = kN
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 16 kN/mAB1 m2 m3 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x0 dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.

L = 6 mw = 16 kN/m dari 1 hingga 3 m
x0 = m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH30 kN20 kN15 kN35 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓C: 20 kN ↓D: 15 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB30 kN15 kN8 m2 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 2 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 30 kNbeban mengufuk = 15 kN ←
FBC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
P = 29 kNABδ0.5 m4.5 m

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 0.5 m dari A. Cari pesongan δB pada hujung bebas B.

P = 29 kNa = 0.5 mL = 5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 12 kN/mδL = 2.5 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 110 kNL = 4 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 110 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 110 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 161.7 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·6 = 80·4 + 65·10
RB = 970/6 = 161.7 kN

Keseimbangan menegak

RA = 80 + 65 − 161.7 = −16.67 kN

Jawapan

RB = 161.7 kN

RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: α = 84.77 °

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

Pv = 10·sin 60° = 8.66 kN
Ph = 10·cos 60° = 5 kN

Tindak balas

ΣMA = 0: RB·10 = 8.66·7 + 65·2 → RB = 19.06 kN
Ay = 8.66 + 65 − 19.06 = 54.6 kN
Ax = Ph = 5 kN

Arah pada A

α = atan(Ay/Ax) = atan(54.6/5) = 84.77°

Jawapan

α = 84.77°
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Vx = 15 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 50RB​ = 50keratan3.5 m6.5 m

Potong pada x = 3.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri keratan)
Vx = 50 − 10·3.5 = 15 kN

Jawapan

Vx = 15 kN
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x0 = 2.333 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·6 = 16·2·2
RB = 64/6 = 10.67 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 10.67 = 21.33 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada RA, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 21.33/16 = 2.333 m

Jawapan

x0 = 2.333 m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 63.64 kN (C), HE: 77.78 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 21.21 kN (T), HC: 7.071 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −11.86 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·2 − 15·2 → Cy = 3.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 3.75 = 26.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/6.325 = 0.3162, cos γ = 6/6.325 = 0.9487
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3.75/0.3162 = −11.86 kN

Jawapan

FBC = −11.86 kN (mampatan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δB = 13.27 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δP = Pa³/(3EI) = 0.9154 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.002746 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13.27 mm

Jawapan

δB = 13.27 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·11000·6.944) = 7.99 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 109.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN

Jawapan

Pcr = 109.9 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 100.9 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 100.9 mm

Jawapan

d = 100.9 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 158.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis