Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 10 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?5 m1 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 8 mP1 = 10 kN pada 5 mP2 = 30 kN pada 6 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?5 m1 m2 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 10 mP = 55 kN pada 6 mw = 4 kN/m dari 5 hingga 8 m
RB = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 10 kN/mABkeratan3 m1 m

Cari daya ricih Vx pada keratan x = 3 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 3 m
Vx = kN
4.Daya ricih & momen lenturSukar
20 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

20 kN @ 12 m45 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB30 kN6 m2 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 30 kN
FBC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB10 kN5 kN6 m2 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 3 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 10 kNbeban mengufuk = 5 kN →
FBC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
w = 15 kN/mABθ4 m

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θA rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Pesongan rasukSukar
w = 4 kN/mP = 9 kNδL = 2 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δmax.

P = 9 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 10 kNL = 5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 10 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 10 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 28.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 10 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​5 m1 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·8 = 10·5 + 30·6
RB = 230/8 = 28.75 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 28.75 = 11.25 kN

Jawapan

RB = 28.75 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 40.8 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​RB​5 m1 m2 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 6.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·6 + 4·3·6.5
RB = 408/10 = 40.8 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 40.8 = 26.2 kN

Jawapan

RB = 40.8 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Vx = −10 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·4·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20keratan3 m1 m

Potong pada x = 3 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri keratan)
Vx = 20 − 10·3 = −10 kN

Jawapan

Vx = −10 kN
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 23 kN, R2 = 42 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 46, MC = 92 kN·m, MD = 48, ME = 4, MF = −40, MG = 0

Jawapan

Tanda C: MC = 92 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −22.36 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 10 = 20 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.4472 = −22.36 kN

Jawapan

FBC = −22.36 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −9.722 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB10 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·2 + 5·3 → Cy = 5.833 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 5.833 = 4.167 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5.833/0.6 = −9.722 kN

Jawapan

FBC = −9.722 kN (mampatan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: θA = 0.005556 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Cerun hujung

θA = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·7.2 × 10¹²) = 0.005556 rad

Jawapan

θA = 0.005556 rad

Itu ialah 0.3183°.

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 3.721 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 9000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(48EI) = 9000·2000³/(48·6.27 × 10¹¹) = 2.392 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 1.329 mm

Tambahkannya

δmax = 2.392 + 1.329 = 3.721 mm

Jawapan

δmax = 3.721 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 21.7 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21.7 kN

Jawapan

Pcr = 21.7 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 37.3 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 37.3 mm

Jawapan

d = 37.3 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 268.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis