Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 4 mP₁ = 15 kN pada 2.5 mP₂ = 45 kN pada 3 m

R_A = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 3 m dari A, condong pada 40° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 0.5 m dari A. Cari magnitud daya tindak balas jumlah R_A pada pin A.

L = 4 mP = 80 kN pada 3 m, θ = 40°Q = 25 kN pada 0.5 m

R_A = kN

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 35 kN·m pada x = 6 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 8 mM₀ = 35 kN·m ikut arah jam, pada 6 m

M_x = kN·m

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2.5 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik lenturan songsang di antara penyokong (di mana momen lentur bertukar tanda).

L = 7.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 7.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m

x_c = m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 4 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 40 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 55 kNbeban mengufuk = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 10 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 26 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 16.88 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2.5 + 45·3

R_B = 172.5/4 = 43.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 43.13 = 16.88 kN

Jawapan

R_A = 16.88 kN

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 70.44 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

P_v = 80·sin 40° = 51.42 kN

P_h = 80·cos 40° = 61.28 kN

Tindak balas

ΣM_A = 0: R_B·4 = 51.42·3 + 25·0.5 → R_B = 41.69 kN

A_y = 51.42 + 25 − 41.69 = 34.73 kN

A_x = P_h = 61.28 kN

Paduan pada A

R_A = √(61.28² + 34.73²) = 70.44 kN

Jawapan

R_A = 70.44 kN

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 8.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/8 = 4.375 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −4.375 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −4.375·6 + 35 = 8.75 kN·m

Jawapan

M_x = 8.75 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x_c = 3.75 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·7.5 = 45 kN, bertindak pada x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·7.5·3.75

R_B = 168.8/5 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 33.75 = 11.25 kN

Momen sifar

Di antara penyokong M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain x = 0, ia sifar pada x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·11.25/6 = 3.75 m

Jawapan

x_c = 3.75 m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 8.75 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·7 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 35 = 5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35/0.9701 = −36.08 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−36.08)·0.2425 = 8.75 kN

Jawapan

F_AC = 8.75 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −60.81 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 − 25·2 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 12 = 43 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −43/0.7071 = −60.81 kN

Jawapan

F_AB = −60.81 kN (mampatan)

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 23.75 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 10000·3000³/(3·7.2 × 10¹²) = 12.5 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 11.25 mm

Tambahkannya

δ = 12.5 + 11.25 = 23.75 mm

Jawapan

δ = 23.75 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.468 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·3000³/(48·1.14 × 10¹³) = 1.283 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 0.185 mm

Tambahkannya

δ_max = 1.283 + 0.185 = 1.468 mm

Jawapan

δ_max = 1.468 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 139.5 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139.5 kN

Jawapan

P_cr = 139.5 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 100.7 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

Jawapan

σ_cr = 100.7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis