Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 3 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 10 mP = 30 kN pada 3 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 m

M_A = kN·m

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 4 mP = 55 kN pada 3 mw = 10 kN/m dari 2 hingga 3 m

R_B = kN

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 25 kN·m pada x = 2 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5 mM₀ = 25 kN·m ikut arah jam, pada 2 m

M_x = kN·m

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 20 kN pada 4 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓F: 30 kN ↓G: 30 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 5 m dari Abeban tegak = 20 kNbeban mengufuk = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 2 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 20 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 120 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 120 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 290 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m

Momen pada dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 30·3 + 40·5 = 290 kN·m

Jawapan

M_A = 290 kN·m

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 47.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·3 + 10·1·2.5

R_B = 190/4 = 47.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 47.5 = 17.5 kN

Jawapan

R_B = 47.5 kN

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 15 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/5 = 5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·2 + 25 = 15 kN·m

Jawapan

M_x = 15 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 168 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·4 + 10·10·5

R_B = 580/10 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 58 = 62 kN

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 62·4 − 10·4·2 = 168 kN·m

Jawapan

M_x = 168 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 60 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 84.85 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 50 kN (T), BG: 14.14 kN (C), DG: 28.28 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −16.77 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·5 − 5·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0.8944 = −16.77 kN

Jawapan

F_BC = −16.77 kN (mampatan)

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 4.069 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 4.069 mm

Jawapan

δ = 4.069 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 52.71 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 52.71 mm

Jawapan

δ_max = 52.71 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 23.5 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1400² = 23499 N = 23.5 kN

Jawapan

P_cr = 23.5 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 44.99 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 44.99 mm

Jawapan

d = 44.99 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 93.36, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis