Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, turun daripada 4 kN/m di A kepada sifar di B. Cari tindak balas penyokong menegak R_A.

L = 10 mw₀ = 4 kN/m

R_A = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 4.5 m dari A, condong pada 30° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 2.5 m dari A. Cari magnitud daya tindak balas jumlah R_A pada pin A.

L = 6 mP = 20 kN pada 4.5 m, θ = 30°Q = 50 kN pada 2.5 m

R_A = kN

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum M_max di antara penyokong.

L = 5 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 4 m

M_max = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 45 kN

F_BC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

C: 40 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN →G: 25 kN ↓H: 25 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 75 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 1.5 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 75 mm

h_req = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 13.33 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = L/3 = 3.333 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·3.333

R_B = 6.667 kN

R_A = 20 − 6.667 = 13.33 kN

Jawapan

R_A = 13.33 kN

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 36.09 kN

Komponen P

P_v = 20·sin 30° = 10 kN

P_h = 20·cos 30° = 17.32 kN

Tindak balas

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4.5 + 50·2.5 → R_B = 28.33 kN

A_y = 10 + 50 − 28.33 = 31.67 kN

A_x = P_h = 17.32 kN

Paduan pada A

R_A = √(17.32² + 31.67²) = 36.09 kN

Jawapan

R_A = 36.09 kN

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 50.67 kN, R₂ = 37.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 46.67, M_C = 85.33 kN·m, M_D = 76, M_E = 58.67, M_F = 33.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 85.33 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 17.58 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·5·2.5

R_B = 125/4 = 31.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 31.25 = 18.75 kN

Daya ricih sifar

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18.75/10 = 1.875 m

Momen sagging maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18.75²/(2·10) = 17.58 kN·m

Jawapan

M_max = 17.58 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −30.19 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 27 = 18 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27/0.8944 = −30.19 kN

Jawapan

F_BC = −30.19 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 67.5 kN (T), BC: 67.5 kN (T), CD: 87.5 kN (T), DE: 87.5 kN (T), FG: 110 kN (C), GH: 110 kN (C), AF: 60.1 kN (C), HE: 123.7 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 60.1 kN (T), HC: 31.82 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF

7.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.004261 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 5·3000³/(24·1.32 × 10¹²) = 0.004261 rad

Jawapan

θ_A = 0.004261 rad

Itu ialah 0.2442°.

8.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 163.7 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1.5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·3500⁴/(384·11000·9.722) = 2.741 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·2.741 × 10⁷/75)^1/3 = 163.7 mm

Jawapan

h_req = 163.7 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 62.01 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·1000 = 500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62.01 kN

Jawapan

P_cr = 62.01 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 9.715 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

Jawapan

σ_cr = 9.715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis