Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P = 75 kNM = 25 kN·mABRB​ = ?4 m2 m4 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 6 m dari A dan pasangan daya ikut arah jam M pada 4 m dari A. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.

L = 10 mP = 75 kN pada 6 mM = 25 kN·m (ikut arah jam) pada 4 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w0​ = 6 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?4.5 m1.5 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu 6 kN/m pada dinding dan menurun kepada sifar di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 4.5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.

L = 6 mw0 = 6 kN/mP = 60 kN pada 4.5 m
MA = kN·m
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
M0​ = 40 kN·mAB1.5 m2.5 m

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M0 = 40 kN·m pada x = 1.5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur Mx sejurus di sebelah kiri pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 4 mM0 = 40 kN·m ikut arah jam, pada 1.5 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
10 kN/m25 kN15 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

25 kN @ 0 m15 kN @ 6 m25 kN @ 3 m10 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB60 kN5 m3 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 60 kN
FBC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB40 kN10 kN4 m3 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 2 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 40 kNbeban mengufuk = 10 kN ←
FAC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
w = 5 kN/mδL = 4 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
P = 13 kNP = 13 kNABδ1.667 m1.666 m1.667 m

Rasuk disokong mudah membawa dua beban titik sama P pada titik sepertiganya (L/3 dari setiap penyokong). Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δmax di tengah rentang.

P = 13 kNL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 3 m20 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 100 kNL = 5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 100 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 47.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·10 − 75·6 − 25 = 0
RB = 475/10 = 47.5 kN

Keseimbangan menegak

RA = 75 − 47.5 = 27.5 kN

Jawapan

RB = 47.5 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: MA = 306 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·6·6 = 18 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Momen pada dinding

MA = W·x̄ + P·a = 18·2 + 60·4.5 = 306 kN·m

Jawapan

MA = 306 kN·m
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = −15 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: RB·L − M0 = 0. Keseimbangan menegak: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/4 = 10 kN (ke atas)
RA = −RB = −10 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kiri pasangan daya

Bahagian kiri hanya mengandungi RA.

Mx = RA·a = −10·1.5 = −15 kN·m

Jawapan

Mx = −15 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 46.67 kN, R2 = 48.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −25, MC = −8.333, MD = −1.667, ME = −30 kN·m, MF = −15, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −30 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −43.27 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 → Cy = 36 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 36 = 24 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36/0.8321 = −43.27 kN

Jawapan

FBC = −43.27 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAC = 12.5 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB40 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 − 10·2 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 25 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0.8944 = −27.95 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−27.95)·0.4472 = 12.5 kN

Jawapan

FAC = 12.5 kN (tegangan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 6.614 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 6.614 mm

Jawapan

δmax = 6.614 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 8.011 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, L = 5000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Satu beban pada L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 4.005 mm

Tambah kedua-dua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 8.011 mm

Jawapan

δmax = 8.011 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 7.311 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/3000² = 7311 N = 7.311 kN

Jawapan

Pcr = 7.311 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 126.7 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 126.7 mm

Jawapan

d = 126.7 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 315.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis