Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w = 4 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?2.5 m2.5 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 2.5 m dari dinding. Cari tindak balas menegak RA pada dinding.

L = 5 mP = 45 kN pada 2.5 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 5 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 3 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.

L = 6 mP = 15 kN pada 1 mw = 3 kN/m dari 2 hingga 4 m
RA = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 5 kN/mP = 20 kNABkeratan1.5 m3.5 m

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 5 m dari A. Cari momen lentur Mx pada keratan x = 1.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5 mP = 20 kN pada 5 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 3 kN/mP = 20 kNAB6 m2 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 8 mP = 20 kN pada 6 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 8 m
Mmax = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH40 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 40 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH30 kN30 kN25 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓F: 30 kN →G: 25 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Pesongan rasukSederhana
P = 22 kNABδ1.5 m0.5 m

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 1.5 m dari A. Cari pesongan δB pada hujung bebas B.

P = 22 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 15 kN/mAB4 m

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas RB pada topang.

L = 4 mw = 15 kN/m
RB = kN
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 6 m20 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 135 kNL = 6 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 135 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 65 kN

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2.5 m

Keseimbangan menegak

RA = P + W = 45 + 20 = 65 kN

Jawapan

RA = 65 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 15.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 3 kN/mP = 15 kNABRA​RB​1 m1 m2 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·1 + 3·2·3
RB = 33/6 = 5.5 kN
ΣFy = 0: RA = 21 − 5.5 = 15.5 kN

Jawapan

RA = 15.5 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = −100.6 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −20·3.5 = −70 kN·m
w: −5·3.5²/2 = −30.63 kN·m
Mx = −70 − 30.63 = −100.6 kN·m

Jawapan

Mx = −100.6 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 48.17 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·6 + 3·8·4
RB = 216/8 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 27 = 17 kN

Di manakah V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 17/3 = 5.667 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 17·5.667 − 3·5.667²/2 = 48.17 kN·m

Jawapan

Mmax = 48.17 kN·m

Ia berlaku pada x = 5.667 m dari A.

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 30 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 10 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 10 kN (C), AF: 42.43 kN (C), HE: 14.14 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 14.14 kN (T), DG: 14.14 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 69.17 kN (T), BC: 69.17 kN (T), CD: 34.17 kN (T), DE: 34.17 kN (T), FG: 68.33 kN (C), GH: 68.33 kN (C), AF: 48.96 kN (C), HE: 42.71 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 1.042 kN (C), HC: 42.71 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δB = 21.09 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δP = Pa³/(3EI) = 14.06 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01406 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 21.09 mm

Jawapan

δB = 21.09 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: RB = 22.5 kN

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Bagi rasuk tak boleh tentu secara statik, alihkan satu penyokong lebihan dan tetapkan pesongan di situ sifar (keserasian).

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang RB sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak RBL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22.5 kN

Jawapan

RB = 22.5 kN
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 2.559 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/3000² = 2559 N = 2.559 kN

Jawapan

Pcr = 2.559 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 130.1 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 130.1 mm

Jawapan

d = 130.1 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 184.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis