Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 75 kN pada 3.5 mP₂ = 50 kN pada 6 m

R_B = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 5.5 m dari A, condong pada 30° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 2.5 m dari A. Cari magnitud daya tindak balas jumlah R_A pada pin A.

L = 6 mP = 80 kN pada 5.5 m, θ = 30°Q = 50 kN pada 2.5 m

R_A = kN

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 45 kN·m pada x = 2.5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kiri pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mM₀ = 45 kN·m ikut arah jam, pada 2.5 m

M_x = kN·m

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 6 mP = 60 kN pada 3 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 6 m

M_max = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 50 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 10 kNbeban mengufuk = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur M_A pada hujung tetap.

L = 3 mP = 15 kN pada 1.5 m

M_A = kN·m

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 10 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 10 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 140.6 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·3.5 + 50·6

R_B = 562.5/4 = 140.6 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 75 + 50 − 140.6 = −15.63 kN

Jawapan

R_B = 140.6 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 76.53 kN

Komponen P

P_v = 80·sin 30° = 40 kN

P_h = 80·cos 30° = 69.28 kN

Tindak balas

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·5.5 + 50·2.5 → R_B = 57.5 kN

A_y = 40 + 50 − 57.5 = 32.5 kN

A_x = P_h = 69.28 kN

Paduan pada A

R_A = √(69.28² + 32.5²) = 76.53 kN

Jawapan

R_A = 76.53 kN

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −18.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/6 = 7.5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −7.5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kiri pasangan daya

Bahagian kiri hanya mengandungi R_A.

M_x = R_A·a = −7.5·2.5 = −18.75 kN·m

Jawapan

M_x = −18.75 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 103.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3 + 3·6·3

R_B = 234/6 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 39 = 39 kN

Di manakah V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 30 kN

V(3⁺) = 30 − 60 = −30 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 39·3 − 3·3²/2 = 103.5 kN·m

Jawapan

M_max = 103.5 kN·m

Ia berlaku pada x = 3 m dari A.

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 21.88 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·1 → C_y = 6.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 6.25 = 43.75 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/7.28 = 0.2747, cos γ = 7/7.28 = 0.9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6.25/0.2747 = −22.75 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22.75)·0.9615 = 21.88 kN

Jawapan

F_AC = 21.88 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −19.57 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 − 20·2 → C_y = −7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −7.5 = 17.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −17.5/0.8944 = −19.57 kN

Jawapan

F_AB = −19.57 kN (mampatan)

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.646 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 2.646 mm

Jawapan

δ_max = 2.646 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: M_A = 8.438 kN·m

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 22.5 − 14.06 = 8.438 kN·m

Jawapan

M_A = 8.438 kN·m

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 56.25 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2100² = 56247 N = 56.25 kN

Jawapan

P_cr = 56.25 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 35.64 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 35.64 mm

Jawapan

d = 35.64 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 280.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis