Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P = 60 kNM = 10 kN·mABRA​ = ?1 m1 m4 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 2 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 1 m dari A. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

L = 6 mP = 60 kN pada 2 mM = 10 kN·m (lawan arah jam) pada 1 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
P = 35 kN, 60°Q = 50 kNABα = ?1.5 m2 m0.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 3.5 m dari A, condong pada 60° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 1.5 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.

L = 4 mP = 35 kN pada 3.5 m, θ = 60°Q = 50 kN pada 1.5 m
α = °
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 60 kNP2​ = 30 kNAB4 m2 m2 m

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 8 mP1 = 60 kN pada 4 mP2 = 30 kN pada 6 m
Mmax = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mP = 65 kNAB2 m8 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 10 mP = 65 kN pada 2 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 m
Mmax = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH20 kN30 kN30 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 20 kN ↓G: 30 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH40 kN35 kN15 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 40 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
7.Pesongan rasukSederhana
w = 4 kN/mABθ6 m

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θA rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Pesongan rasukSukar
P = 30 kNP = 30 kNABδ2 m2 m2 m

Rasuk disokong mudah membawa dua beban titik sama P pada titik sepertiganya (L/3 dari setiap penyokong). Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δmax di tengah rentang.

P = 30 kNL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1 m50 × 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 85 kNL = 5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 85 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 85 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 41.67 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·6 − 60·2 + 10 = 0
RB = 110/6 = 18.33 kN

Keseimbangan menegak

RA = 60 − 18.33 = 41.67 kN

Jawapan

RA = 41.67 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: α = 63.46 °

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

Pv = 35·sin 60° = 30.31 kN
Ph = 35·cos 60° = 17.5 kN

Tindak balas

ΣMA = 0: RB·4 = 30.31·3.5 + 50·1.5 → RB = 45.27 kN
Ay = 30.31 + 50 − 45.27 = 35.04 kN
Ax = Ph = 17.5 kN

Arah pada A

α = atan(Ay/Ax) = atan(35.04/17.5) = 63.46°

Jawapan

α = 63.46°
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 150 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣMA = 0: RB·8 = 60·4 + 30·6
RB = 420/8 = 52.5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 52.5 = 37.5 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P1: M = RA·4 = 37.5·4 = 150 kN·m
di bawah P2: M = RB·2 = 52.5·2 = 105 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 150 kN·m (di bawah P1)

Jawapan

Mmax = 150 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 222 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 65·2 + 12·10·5
RB = 730/10 = 73 kN
ΣFy = 0: RA = 185 − 73 = 112 kN

Di manakah V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (112 − 65)/12 = 3.917 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 2) − w·x0²/2 = 222 kN·m

Jawapan

Mmax = 222 kN·m

Ia berlaku pada x = 3.917 m dari A.

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 36.67 kN (T), BC: 36.67 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 70 kN (T), FG: 73.33 kN (C), GH: 73.33 kN (C), AF: 45.83 kN (C), HE: 87.5 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 45.83 kN (T), HC: 4.167 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 16.25 kN (T), BC: 47.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 31.25 kN (C), GH: 58.75 kN (C), AF: 44.19 kN (C), HE: 61.87 kN (C), BF: 31.25 kN (T), CG: 0, DH: 43.75 kN (T), BG: 44.19 kN (C), DG: 5.303 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: θA = 0.03896 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Cerun hujung

θA = wL³/(24EI) = 4·6000³/(24·9.24 × 10¹¹) = 0.03896 rad

Jawapan

θA = 0.03896 rad

Itu ialah 2.232°.

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 50 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 30000 N, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Satu beban pada L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 25 mm

Tambah kedua-dua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 50 mm

Jawapan

δmax = 50 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 308.4 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2000² = 308425 N = 308.4 kN

Jawapan

Pcr = 308.4 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 121.7 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 121.7 mm

Jawapan

d = 121.7 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 328.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis