Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w0​ = 12 kN/mP = 75 kNABRB​ = ?6 m2 m

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, turun daripada 12 kN/m di A kepada sifar di B. Beban titik P juga bertindak pada 6 m dari A. Cari tindak balas penyokong menegak RB.

L = 8 mw0 = 12 kN/mP = 75 kN pada 6 m
RB = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
P = 30 kN, 60°Q = 50 kNABRA​ = ?1 m2.5 m0.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 1 m dari A, condong pada 60° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 3.5 m dari A. Cari magnitud daya tindak balas jumlah RA pada pin A.

L = 4 mP = 30 kN pada 1 m, θ = 60°Q = 50 kN pada 3.5 m
RA = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 20 kNP2​ = 10 kNABC2 m2 m1 m

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P1 di antara penyokong dan beban titik P2 pada C. Cari momen lentur MB pada penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5 mP1 = 20 kN pada 2 mP2 = 10 kN pada 5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 4 m
MB = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 10 kN/mABC4 m1 m

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum Mmax di antara penyokong.

L = 5 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 4 m
Mmax = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB25 kN6 m2 m4 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 4 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 25 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB20 kN10 kN5 m2 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 20 kNbeban mengufuk = 10 kN ←
FBC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
w = 2 kN/mδL = 2 m

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 20 kN/mP = 13 kNδL = 1.5 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δmax.

P = 13 kNw = 20 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 3 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 72.25 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·8 = 48·2.667 + 75·6
RB = 72.25 kN
RA = 123 − 72.25 = 50.75 kN

Jawapan

RB = 72.25 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 29.79 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

Pv = 30·sin 60° = 25.98 kN
Ph = 30·cos 60° = 15 kN

Tindak balas

ΣMA = 0: RB·4 = 25.98·1 + 50·3.5 → RB = 50.25 kN
Ay = 25.98 + 50 − 50.25 = 25.74 kN
Ax = Ph = 15 kN

Paduan pada A

RA = √(15² + 25.74²) = 29.79 kN

Jawapan

RA = 29.79 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: MB = −10 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·2 + 10·5
RB = 90/4 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 22.5 = 7.5 kN

Keratan pada B dan simpan juluran

Hanya P2 bertindak pada juluran, dengan lengan tuas a. Ia melenturkan rasuk ke atas di atas penyokong (hogging).

MB = −P2·a = −10·1 = −10 kN·m

Jawapan

MB = −10 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 17.58 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·5·2.5
RB = 125/4 = 31.25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 31.25 = 18.75 kN

Daya ricih sifar

RA − w·x0 = 0 → x0 = 18.75/10 = 1.875 m

Momen sagging maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 18.75²/(2·10) = 17.58 kN·m

Jawapan

Mmax = 17.58 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAB = −18.63 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·2 → Cy = 8.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 8.333 = 16.67 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.67/0.8944 = −18.63 kN

Jawapan

FAB = −18.63 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −7.211 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB20 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·2 − 10·2 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 4 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4/0.5547 = −7.211 kN

Jawapan

FBC = −7.211 kN (mampatan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 1.003 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 1.003 mm

Jawapan

δ = 1.003 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 16.91 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(48EI) = 13000·1500³/(48·1.32 × 10¹¹) = 6.925 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 9.988 mm

Tambahkannya

δmax = 6.925 + 9.988 = 16.91 mm

Jawapan

δmax = 16.91 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 19.62 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19.62 kN

Jawapan

Pcr = 19.62 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 6.12 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/6.25 = 336

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6.12 MPa

Jawapan

σcr = 6.12 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis