Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 30 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m3 m6 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.

L = 10 mP1 = 30 kN pada 1 mP2 = 20 kN pada 4 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
P = 25 kN, 50°Q = 55 kNABα = ?2 m1.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 3.5 m dari A, condong pada 50° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 2 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.

L = 5 mP = 25 kN pada 3.5 m, θ = 50°Q = 55 kN pada 2 m
α = °
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
10 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Daya ricih & momen lenturSukar
10 kN/m60 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 12 m15 kN @ 6 m10 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB45 kN8 m6 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 3 mB ialah 6 m dari Abeban tegak = 45 kN
FAC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB35 kN5 kN4 m1 m4 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 4 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 35 kNbeban mengufuk = 5 kN ←
FAC = kN
7.Pesongan rasukSederhana
w = 8 kN/mδL = 2 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δmax, pada pertengahan rentang.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Pesongan rasukSukar
w = 10 kN/mP = 25 kNδL = 2 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δmax.

P = 25 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1.5 m40 × 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
PL = 3 md = 40 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 39 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 30 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m3 m6 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·10 = 30·1 + 20·4
RB = 110/10 = 11 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 11 = 39 kN

Jawapan

RA = 39 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: α = 67.47 °

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

Pv = 25·sin 50° = 19.15 kN
Ph = 25·cos 50° = 16.07 kN

Tindak balas

ΣMA = 0: RB·5 = 19.15·3.5 + 55·2 → RB = 35.41 kN
Ay = 19.15 + 55 − 35.41 = 38.75 kN
Ax = Ph = 16.07 kN

Arah pada A

α = atan(Ay/Ax) = atan(38.75/16.07) = 67.47°

Jawapan

α = 67.47°
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 46.67 kN, R2 = 63.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 41.67, MC = 73.33, MD = 95, ME = 106.7 kN·m, MF = 58.33, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = 106.7 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 13.75 kN, R2 = 141.3 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 7.5, MC = −25, MD = −97.5, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −240 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAC = 22.5 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·6 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33.75 = 11.25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.75/0.8321 = −40.56 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−40.56)·0.5547 = 22.5 kN

Jawapan

FAC = 22.5 kN (tegangan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAC = 2.813 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB35 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 − 5·4 → Cy = 3.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 3.75 = 31.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3.75/0.8 = −4.688 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−4.688)·0.6 = 2.813 kN

Jawapan

FAC = 2.813 kN (tegangan)
7.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 2.801 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 2.801 mm

Jawapan

δmax = 2.801 mm
8.Pesongan rasuk

Jawapan: δmax = 2.604 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(48EI) = 25000·2000³/(48·2.4 × 10¹²) = 1.736 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 0.8681 mm

Tambahkannya

δmax = 1.736 + 0.8681 = 2.604 mm

Jawapan

δmax = 2.604 mm
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 20.47 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/3000² = 20470 N = 20.47 kN

Jawapan

Pcr = 20.47 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 30.71 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

Jawapan

σcr = 30.71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis