Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 15 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​1 m5 m2 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.

L = 8 mP1 = 15 kN pada 1 mP2 = 35 kN pada 6 m
RA = kN
2.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 6 kN/mP = 10 kNABCRA​ = ?0.5 m3 m1 m1.5 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 0.5 m dari A dan beban teragih seragam w dari 3.5 m hingga hujung bebas pada 6 m. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 10 kN pada 0.5 mw = 6 kN/m dari 3.5 hingga 6 m
RA = kN
3.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 8 kN/mABkeratan1 m5 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 4 kN/mP = 50 kNABkeratan1 m4 m3 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mP = 50 kN pada 1 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH40 kN30 kN25 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 40 kN ↓G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH40 kN40 kN10 kN35 kN20 kN15 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 40 kN ↓D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓F: 35 kN →G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
7.Pesongan rasukSederhana
w = 8 kN/mABθ8 m

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θA rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Pesongan rasukSukar
w = 2 kN/mδL = 2 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
P = 135 kNL = 6 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 135 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 21.88 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 15 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​1 m5 m2 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 35·6
RB = 225/8 = 28.13 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 28.13 = 21.88 kN

Jawapan

RA = 21.88 kN
2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 8.056 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban teragih

W = 6·2.5 = 15 kN, x̄ = (3.5 + 6)/2 = 4.75 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·4.5 = 10·0.5 + 15·4.75
RB = 76.25/4.5 = 16.94 kN
RA = 25 − 16.94 = 8.056 kN

Jawapan

RA = 8.056 kN
3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 20 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24keratan1 m5 m

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 24·1 − 8·1·0.5 = 20 kN·m

Jawapan

Mx = 20 kN·m
4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 48.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·1 + 4·8·4
RB = 178/8 = 22.25 kN
ΣFy = 0: RA = 82 − 22.25 = 59.75 kN
w = 4 kN/mP = 50 kNABRA​ = 59.75RB​ = 22.25keratan1 m4 m3 m

Potong pada x = 5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 59.75·5 − 50·(5 − 1) − 4·5·2.5 = 48.75 kN·m

Jawapan

Mx = 48.75 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 31.25 kN (T), BC: 31.25 kN (T), CD: 63.75 kN (T), DE: 63.75 kN (T), FG: 62.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 44.19 kN (C), HE: 90.16 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 44.19 kN (T), HC: 1.768 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 107.9 kN (T), BC: 114.2 kN (T), CD: 114.2 kN (T), DE: 93.75 kN (T), FG: 107.9 kN (C), GH: 93.75 kN (C), AF: 91.15 kN (C), HE: 117.2 kN (C), BF: 44.69 kN (T), CG: 0, DH: 55.31 kN (T), BG: 7.813 kN (C), DG: 25.52 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Pesongan rasuk

Jawapan: θA = 0.0371 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Cerun hujung

θA = wL³/(24EI) = 8·8000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.0371 rad

Jawapan

θA = 0.0371 rad

Itu ialah 2.126°.

8.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 1.071 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2000⁴/(384·70000·5.556) = 1.071 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.071 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 1.071 × 10⁶ mm⁴
9.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 160.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160.2 kN

Jawapan

Pcr = 160.2 kN
10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 156.6 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 156.6 mm

Jawapan

d = 156.6 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 306.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis