Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 17, 14, 60, 36, 60, 35, 19.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 52?

μ = 70σ = 15x = 52

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 3 rode en 3 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

3 / 3

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 6p = 0,4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 442 en 540 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 540

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 10% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 63 en standaardafwijking s = 18,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 20x̄ = 63s = 18,590%t(19) = 1,729

E =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 20 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 0,6 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 19 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 8,907 en 2,5% boven 32,852.

n = 20s = 0,6 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 71,88 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,88s = 12n = 100

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 5E = 0,595%

n =

13.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “landelijk, hoog”.

rijtotaal = 79kolomtotaal = 54N = 163

E =

14.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 8 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 8

df =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 19,45

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 241/7 = 34,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−17,43)² + (−20,43)² + 25,57² + 1,571² + 25,57² + 0,5714² + (−15,43)² = 2270

Standaardafwijking

s = √(2270/6) = 19,45

Antwoord

s = 19,45

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8849

Standaardiseren

z = −1,2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Antwoord

P = 0,8849

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

Antwoord

P = 0,2

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2333

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Tel ze op

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Antwoord

P = 0,2333

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7678

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1) − Φ(−1,45) = 0,8413 − 0,07353 = 0,7678

Antwoord

P = 0,7678

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 187 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,9

z uit de tabel

z ≈ 1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Antwoord

x = 187 cm

7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9646

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 85/6 = 14,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 121

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 216,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 121²/(70·216,8) = 0,9646

Antwoord

r² = 0,9646

Ongeveer 96,46% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 57,45

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 255/5 = 51

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

Regressielijn

b = 43/10 = 4,3

a = 51 − 4,3·5 = 29,5

ŷ = 29,5 + 4,3·x

Voorspelling

ŷ = 29,5 + 4,3·6,5 = 57,45

Antwoord

ŷ = 57,45

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 7,152

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Foutmarge

E = 1,729·18,5/√20 = 7,152

Antwoord

E = 7,152

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 0,4563 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 19·0,6² = 6,84

Grenzen voor σ²

6,84/32,852 = 0,2082

6,84/8,907 = 0,7679

Grens voor σ

σ = √0,2082 = 0,4563 µm

Antwoord

σ = 0,4563 µm

95%-interval voor σ: [0,4563, 0,8763] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,6

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Toetsingsgrootheid

t = (71,88 − 75)/1,2 = −2,6

Antwoord

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 385

n oplossen

n = (1,96·5/0,5)² = 384,2

Naar boven afronden

n = 385

Antwoord

n = 385

13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 26,17

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 79·54/163 = 26,17

Antwoord

E = 26,17

14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 6

Vrijheidsgraden

df = 8 − 1 − 1 = 6

Antwoord

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice