Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 20, 46, 40, 36, 32, 44.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 44?

μ = 60σ = 20x = 44

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,05, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 12p = 0,5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 92,5 en 115 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 115

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = punten

7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 15Σy = 288Σx² = 55Σy² = 17008Σxy = 924

r =

8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 19,5.

n = 6x = 19,5

ŷ =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 56 h, bekende standaardafwijking 6 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 51,5 h, bekende standaardafwijking 11 h. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 56 hσ₁ = 6 hn₂ = 40x̄₂ = 51,5 hσ₂ = 11 h90%

bovengrens = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4,3 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.

n = 15s = 4,3 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 5 studenten, gemiddelde score 88,5, standaardafwijking 4,5. Groep 2: 9 studenten, gemiddelde score 84,5, standaardafwijking 6. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 5x̄₁ = 88,5s₁ = 4,5n₂ = 9x̄₂ = 84,5s₂ = 6

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 9. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 95%δ = 2σ = 9z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1002 × 2

χ² =

14.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,01 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,43

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 239/7 = 34,14

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−13,14)² + (−14,14)² + 11,86² + 5,857² + 1,857² + (−2,143)² + 9,857² = 652,9

Standaardafwijking

s = √(652,9/6) = 10,43

Antwoord

s = 10,43

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2119

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 2,3

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,05 + 5·0,3 = 3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,05 + 25·0,3 = 11,3

Variantie

Var(X) = 11,3 − 3² = 2,3

Antwoord

Var(X) = 2,3

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,003174

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Tel ze op

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Antwoord

P = 0,003174

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,5328

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1) − Φ(−0,5) = 0,8413 − 0,3085 = 0,5328

Antwoord

P = 0,5328

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 129,4 punten

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Terug naar x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 punten

Antwoord

x = 129,4 punten

7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9267

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 924 − 15·288/5 = 60

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 17008 − 288²/5 = 419,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 60/√(10·419,2) = 0,9267

Antwoord

r = 0,9267

8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 40,31

Gemiddelden

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 367/6 = 61,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 547,5

Regressielijn

b = 547,5/157,5 = 3,476

a = 61,17 − 3,476·25,5 = −27,48

ŷ = −27,48 + 3,476·x

Voorspelling

ŷ = −27,48 + 3,476·19,5 = 40,31

Antwoord

ŷ = 40,31

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 7,683 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 56 − 51,5 = 4,5

Standaardfout

SE = √(6²/50 + 11²/40) = 1,935

Foutmarge

E = 1,645·1,935 = 3,183

Interval

4,5 ± 3,183 → [1,317, 7,683]

Antwoord

bovengrens = 7,683 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 3,148 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 14·4,3² = 258,9

Grenzen voor σ²

258,9/26,119 = 9,911

258,9/5,629 = 45,99

Grens voor σ

σ = √9,911 = 3,148 µm

Antwoord

σ = 3,148 µm

95%-interval voor σ: [3,148, 6,781] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,293

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (4·4,5² + 8·6²)/12 = 30,75

s_p = 5,545

Standaardfout

SE = 5,545·√(1/5 + 1/9) = 3,093

Toetsingsgrootheid

t = (88,5 − 84,5)/3,093 = 1,293

Antwoord

t = 1,293

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 220

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 1,645)·9/2)² = 219,2

Naar boven afronden

n = 220

Antwoord

n = 220

13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 0,1984

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

nieuw geneesmiddel: 60·30/100 = 18, 60·70/100 = 42

placebo: 40·30/100 = 12, 40·70/100 = 28

Chikwadraatgrootheid

χ² = (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (11 − 12)²/12 + (29 − 28)²/28

χ² = 0,1984

Antwoord

χ² = 0,1984

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 30,14

Verwachte aantallen

lijn 1: 56, 24

lijn 2: 42, 18

lijn 3: 28, 12

Chikwadraatgrootheid

χ² = (65 − 56)²/56 + (15 − 24)²/24 + (47 − 42)²/42 + (13 − 18)²/18 + (14 − 28)²/28 + (26 − 12)²/12

χ² = 30,14

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 9,210

30,14 > 9,210

Antwoord

χ² = 30,14

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice