Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 17, 60, 34, 45.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 20.

μ = 50σ = 20x = 20

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,3, 0,15, 0,35, 0,05

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 10p = 0,2k = 4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 5 ervan groter is dan 465,2 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 465,2 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 70% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten70%

x = punten

7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 25Σy = 322Σx² = 165Σy² = 22372Σxy = 1862

r =

8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 31) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 31)

e =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 69 h, bekende standaardafwijking 19 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 72,5 h, bekende standaardafwijking 14 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 69 hσ₁ = 19 hn₂ = 50x̄₂ = 72,5 hσ₂ = 14 h95%

E = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 75 kg, standaardafwijking 7 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 85,5 kg, standaardafwijking 5,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 75s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 85,5s₂ = 5,599%t(12) = 3,055

E = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 54,11 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,11s = 12n = 49

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 8. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 8E = 399%

n =

13.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “stedelijk, hoog”.

rijtotaal = 103kolomtotaal = 31N = 188

E =

14.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,86

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 190/5 = 38

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−21)² + 22² + (−4)² + 7² = 1006

Standaardafwijking

s = √(1006/4) = 15,86

Antwoord

s = 15,86

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1,5

Standaardiseren

z = (20 − 50)/20 = −1,5

Antwoord

z = −1,5

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,428

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,35 + 5·0,05 = 2,85

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,35 + 25·0,05 = 9,55

Variantie

Var(X) = 9,55 − 2,85² = 1,428

Antwoord

Var(X) = 1,428

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,08808

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 4) = 210·0,2⁴·0,8⁶ = 210·0,0016·0,2621 = 0,08808

Antwoord

P = 0,08808

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,06681

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Standaardiseren

z = (465,2 − 425)/26,83 = 1,5

Kansrekening

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 92,2 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,3

z uit de tabel

z ≈ −0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 punten

Antwoord

x = 92,2 punten

7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9853

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1862 − 25·322/5 = 252

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 22372 − 322²/5 = 1635

Correlatiecoëfficiënt

r = 252/√(40·1635) = 0,9853

Antwoord

r = 0,9853

8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 1,986

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 147/6 = 24,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39,5

Regressielijn

b = −39,5/17,5 = −2,257

a = 24,5 − (−2,257)·3,5 = 32,4

ŷ = 32,4 − 2,257·x

Voorspelde waarde

ŷ = 32,4 + (−2,257)·1,5 = 29,01

Residu

e = 31 − 29,01 = 1,986

Antwoord

e = 1,986

Het punt ligt boven de lijn.

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 6,542 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 69 − 72,5 = −3,5

Standaardfout

SE = √(19²/50 + 14²/50) = 3,338

Foutmarge

E = 1,96·3,338 = 6,542

Antwoord

E = 6,542 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 11,14 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (8·7² + 4·5,5²)/12 = 42,75

s_p = 6,538

Foutmarge

E = 3,055·6,538·√(1/9 + 1/5) = 11,14

Antwoord

E = 11,14 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,397

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Toetsingsgrootheid

t = (54,11 − 50)/1,714 = 2,397

Antwoord

t = 2,397

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 48

n oplossen

n = (2,576·8/3)² = 47,19

Naar boven afronden

n = 48

Antwoord

n = 48

13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 16,98

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 103·31/188 = 16,98

Antwoord

E = 16,98

14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 2,103

Verwachte aantallen

lijn 1: 12, 28

lijn 2: 18, 42

lijn 3: 24, 56

Chikwadraatgrootheid

χ² = (15 − 12)²/12 + (25 − 28)²/28 + (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (20 − 24)²/24 + (60 − 56)²/56

χ² = 2,103

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

2,103 < 5,991

Antwoord

χ² = 2,103

χ² ligt onder de kritieke waarde, dus H₀ wordt niet verworpen: er is geen significant bewijs voor een verband.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice