Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld
3035404550

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 44, 26, 29, 45, 51, 51, 36.

n = 7
s =
2.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 55.

μ = 60σ = 5x = 55
z =
3.KansrekeningGemiddeld
xp(x)00,3510,1520,3530,15μ = 1,3

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,35, 0,15
Var(X) =
4.KansrekeningMoeilijk
n = 7, p = 0,7: P(X ≤ 1) = ?k01234567

Er worden 7 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,7. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 7p = 0,7
P =
5.Normale verdelingGemiddeld
5070P = ?

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 50 en 70 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 70
P =
6.Normale verdelingMoeilijk
10 cm0X − Y?

De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy125221320420516xy242025

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5
r² =
8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy24144565185710601276xy510406080x = 5

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (5, 44) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(5, 44)
e =
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 80 h, bekende standaardafwijking 10 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 65 h, bekende standaardafwijking 8 h. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 80 hσ₁ = 10 hn₂ = 30x̄₂ = 65 hσ₂ = 8 h99%
ondergrens = h
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
n = 10Lσ = ?s = 0,795%

De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 0,7 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.

n = 10s = 0,7 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
−2,1452,145t = ?df = 14

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 9 studenten, gemiddelde score 41, standaardafwijking 2,5. Groep 2: 7 studenten, gemiddelde score 38,3, standaardafwijking 8,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 9x̄₁ = 41s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 38,3s₂ = 8,5
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
μ₀x̄c

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 500 tegen H₁: μ < 500 wordt uitgevoerd bij α = 0.05 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 4. In werkelijkheid is het gemiddelde 498.5. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 500μ = 498,5σ = 4n = 64α = 0,05
β = %
13.ChikwadraattoetsenGemiddeld
busfietsautoTotaalstudenten374033110personeel362144101Totaal736177211

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “personeel, fiets”.

rijtotaal = 101kolomtotaal = 61N = 211
E =
14.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 11 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,13

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 282/7 = 40,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 3,714² + (−14,29)² + (−11,29)² + 4,714² + 10,71² + 10,71² + (−4,286)² = 615,4

Standaardafwijking

s = √(615,4/6) = 10,13

Antwoord

s = 10,13
2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = (55 − 60)/5 = −1

Antwoord

z = −1
3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,21

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,15 = 2,9

Variantie

Var(X) = 2,9 − 1,3² = 1,21

Antwoord

Var(X) = 1,21
4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,003791

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,37 = 0,0002187
P(X = 1) = 7·0,7·0,36 = 0,003572

Tel ze op

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Antwoord

P = 0,003791
5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6247

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,5) − Φ(−1,5) = 0,6915 − 0,06681 = 0,6247

Antwoord

P = 0,6247
6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7389

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaardiseren

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Antwoord

P = 0,7389
7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,8762

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20,4

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 41,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = −19²/(10·41,2) = 0,8762

Antwoord

r² = 0,8762

Ongeveer 87,62% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,543

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 330/6 = 55

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

Regressielijn

b = 226/70 = 3,229
a = 55 − 3,229·7 = 32,4
ŷ = 32,4 + 3,229·x

Voorspelde waarde

ŷ = 32,4 + 3,229·5 = 48,54

Residu

e = 44 − 48,54 = −4,543

Antwoord

e = −4,543

Het punt ligt onder de lijn.

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 9,763 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 80 − 65 = 15

Standaardfout

SE = √(10²/50 + 8²/30) = 2,033

Foutmarge

E = 2,576·2,033 = 5,237

Interval

15 ± 5,237 → [9,763, 20,24]

Antwoord

ondergrens = 9,763 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 1,278 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 9·0,7² = 4,41

Grenzen voor σ²

4,41/19,023 = 0,2318
4,41/2,7 = 1,633

Grens voor σ

σ = √1,633 = 1,278 µm

Antwoord

σ = 1,278 µm

95%-interval voor σ: [0,4815, 1,278] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,9117

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

sp² = (8·2,5² + 6·8,5²)/14 = 34,54
sp = 5,877

Standaardfout

SE = 5,877·√(1/9 + 1/7) = 2,962

Toetsingsgrootheid

t = (41 − 38,3)/2,962 = 0,9117

Antwoord

t = 0,9117

Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 8,771 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 4/√64 = 0,5
x̄c = 500 − 1,645·0,5 = 499,2

z onder het ware gemiddelde

z = (499,2 − 498,5)/0,5 = 1,355

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.355) = 91.23%
β = 100% − 91,23% = 8,771%

Antwoord

β = 8,771%
13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 29,2

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 101·61/211 = 29,2

Antwoord

E = 29,2
14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 18,31

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 11 − 1 = 10

Tabel

χ²crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307

Antwoord

χ²crit = 18,307

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice