Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 26, 14, 40, 40, 50.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 40. Welk deel P van de waarden ligt onder 468?

μ = 500σ = 40x = 468

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 5X + 4. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,1, 0,25, 0,15Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9715 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9715

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 85% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 23.

n = 5x = 23

ŷ =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 71,5 h, bekende standaardafwijking 11 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 86,5 h, bekende standaardafwijking 4 h. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 71,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 50x̄₂ = 86,5 hσ₂ = 4 h99%

ondergrens = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 17 proefvelden, gemiddelde opbrengst 20 kg, standaardafwijking 5,5 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 22 kg, standaardafwijking 5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 17x̄₁ = 20s₁ = 5,5n₂ = 5x̄₂ = 22s₂ = 590%t(20) = 1,725

ondergrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 60 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 63 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 5 mm. Lijn 2: een steekproef van 50 onderdelen heeft gemiddelde 59,3 mm, bekende standaardafwijking 10 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 60x̄₁ = 63 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 59,3 mmσ₂ = 10 mm

z =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 8. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 90%δ = 4σ = 8z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, geen defect”.

rijtotaal = 71kolomtotaal = 70N = 147

E =

14.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 6 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 6

df =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,07

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 170/5 = 34

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−8)² + (−20)² + 6² + 6² + 16² = 792

Standaardafwijking

s = √(792/4) = 14,07

Antwoord

s = 14,07

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2119

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 3,55

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,1 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,25 = 3,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,1 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,25 = 15,8

Variantie

Var(X) = 15,8 − 3,5² = 3,55

Antwoord

Var(X) = 3,55

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 7,176

Spreiding van X

μ = 2,8, Var(X) = 2,06, σ_X = 1,435

Lineaire transformatie

σ_Y = |5|·1,435 = 7,176

Antwoord

σ_Y = 7,176

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 5·2,8 + 4 = 18.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 2,19

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,9715)/2 = 0,9857

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9857 in de tabel en lees z af.

z = 2,19

Antwoord

z = 2,19

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 542 h

Oppervlak links

Φ(z) = 0,85

z uit de tabel

z ≈ 1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Antwoord

x = 542 h

7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9573

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 339/5 = 67,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 392,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 60/√(10·392,8) = 0,9573

Antwoord

r = 0,9573

8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 72,5

Gemiddelden

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 341/5 = 68,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Regressielijn

b = 172/40 = 4,3

a = 68,2 − 4,3·22 = −26,4

ŷ = −26,4 + 4,3·x

Voorspelling

ŷ = −26,4 + 4,3·23 = 72,5

Antwoord

ŷ = 72,5

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −18,49 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 71,5 − 86,5 = −15

Standaardfout

SE = √(11²/80 + 4²/50) = 1,354

Foutmarge

E = 2,576·1,354 = 3,487

Interval

−15 ± 3,487 → [−18,49, −11,51]

Antwoord

ondergrens = −18,49 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −6,742 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (16·5,5² + 4·5²)/20 = 29,2

s_p = 5,404

Foutmarge

E = 1,725·5,404·√(1/17 + 1/5) = 4,742

Interval

−2 ± 4,742 → [−6,742, 2,742]

Antwoord

ondergrens = −6,742 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,38

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(5²/60 + 10²/50) = √2,417 = 1,555

Toetsingsgrootheid

z = (63 − 59,3)/1,555 = 2,38

Antwoord

z = 2,38

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 53

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,282)·8/4)² = 52,07

Naar boven afronden

n = 53

Antwoord

n = 53

13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 33,81

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 71·70/147 = 33,81

Antwoord

E = 33,81

14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 4

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 − 1 = 4

Antwoord

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice